永不褪色的數(shù)學(xué)精神與教育思想

春節(jié)假期，讀中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所王濤老師的著作《默默無言散異香：廖山濤傳》1，讀罷掩卷閉目沉思.廖山濤先生身著藍(lán)布上衣，坐在陋室的木桌前，不斷在紙上推演書寫的形象，在我腦海里逐漸清晰.

廖山濤（1920—1997）是20世紀(jì)我國杰出的湘籍?dāng)?shù)學(xué)家，出生于湖南衡山，曾獲第三世界科學(xué)院首屆數(shù)學(xué)獎（1986）和我國自然科學(xué)一等獎（1987），學(xué)術(shù)成就高山仰止.他1942年肆業(yè)于西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系，1950年赴美國芝加哥大學(xué)深造，師從數(shù)學(xué)大師陳省身，研究方向為代數(shù)拓?fù)洌诿榔陂g的研究成果（如關(guān)于球面同倫群的計算）已顯露出獨(dú)創(chuàng)性[2].1956年響應(yīng)號召回國，任教于北京大學(xué).1960年代起，他敏銳地察覺到微分動力系統(tǒng)領(lǐng)域的潛力，開始轉(zhuǎn)向這一新興領(lǐng)域，并獨(dú)立開創(chuàng)了獨(dú)具特色的研究體系.廖山濤在微分動力系統(tǒng)領(lǐng)域有兩個原創(chuàng)的基本概念：典范方程組（Standard Sys-tems）和阻礙集（ObstructionSets），并以此為核心，形成獨(dú)特的研究體系.總體上，他的研究風(fēng)格具有“開創(chuàng)性”的特點(diǎn)，體現(xiàn)了他在國際封鎖環(huán)境下獨(dú)立探索的學(xué)術(shù)精神.

1為學(xué)

廖山濤身上具有“吃得苦，霸得蠻，打得赤腳，耐得煩”的典型湖南人特質(zhì).小學(xué)時，父親給了他一本四則算術(shù)應(yīng)用題自學(xué)，他發(fā)現(xiàn)有些題目做起來非常困難，根本不知道怎么做.對于做不出的題目，他會隔一天再去思考，慢慢地可以做出一些題目.久而久之，廖山濤發(fā)現(xiàn)所有的問題都不再困難，并且可以非常快地做出來.這件事情對他產(chǎn)生了相當(dāng)大的鼓勵作用，也讓他逐漸養(yǎng)成了自學(xué)的習(xí)慣.1935年，在湖南省立長沙高級中學(xué)（今長沙一中）讀高中時，他閱讀《幾何作圖題解法及其原理》也按在衡山自學(xué)的路子，想想停停，前后用了七、八個月的時間才完成.至此，廖山濤已經(jīng)不滿足于數(shù)學(xué)課本中的分散的問題，轉(zhuǎn)而喜歡大段的，前后一貫的系統(tǒng)學(xué)習(xí).廖山濤說的前后一貫，指的是除了思維有條不紊外，“對最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典，要求自己能夠熟練到把書本合起來以后，書中內(nèi)容在腦海中像放電影一樣，一幕幕不停地放映出來的程度”.讀書時，廖山濤往往把書略微一翻，然后看定義、定理的陳述，但對于證明，則要求自己去想，決不允許自己輕易去看現(xiàn)成的

20世紀(jì)60年代初，廖山濤開始由拓?fù)鋵W(xué)轉(zhuǎn)向動力系統(tǒng).微分動力系統(tǒng)大致可以分為兩類：一類由常微分方程而來，時間t從負(fù)無窮到正無窮，因此是連續(xù)（時間）系統(tǒng)；另一類是映射的迭代，這類系統(tǒng)的時間是離散的，叫做離散（時間）系統(tǒng).西方學(xué)派多從離散系統(tǒng)人手，取得突破，再向連續(xù)系統(tǒng)推廣.用廖山濤的話說就是“離散系統(tǒng)是常微系統(tǒng)的‘特款'”.同樣的問題，離散系統(tǒng)比常微系統(tǒng)容易出結(jié)果，做常微系統(tǒng)比做離散系統(tǒng)“吃虧”廖山濤始終直面常微系統(tǒng)，特別是常微系統(tǒng)中的奇點(diǎn)問題，認(rèn)為如能解決連續(xù)系統(tǒng)問題，那么離散系統(tǒng)的相應(yīng)問題可自然獲得解決.這就在本質(zhì)上決定了廖山濤的研究路線復(fù)雜、困難得多，此外，信息閉塞、資料匱乏、沒有團(tuán)隊、同行的不理解，認(rèn)為他“背叛”了拓?fù)鋵W(xué)等等外部困難不一而足.但是，廖山濤沒有被打倒，“埋頭耕耘，不問收獲”，大量艱苦的準(zhǔn)備，經(jīng)常徹夜地工作，他最終在微分動力系統(tǒng)這個全新領(lǐng)域中，相繼提出典范方程組和阻礙集兩個基本概念，形成了獨(dú)特的研究體系.此后，廖山濤還點(diǎn)撥和指導(dǎo)唐云、周作領(lǐng)、熊金城和陳藻平等先后轉(zhuǎn)入動力系統(tǒng)研究，逐步推動建立起中國特色的動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)流派！他堅韌不拔的數(shù)學(xué)精神，此時展現(xiàn)得淋漓盡致，實在令人嘆服.

2為師

廖山濤在培養(yǎng)學(xué)生方面也有自己獨(dú)特的一套教育思想.在北大授課時，他堅持從公理化體系出發(fā)，要求學(xué)生“吃透定義”，甚至花費(fèi)數(shù)周時間講解拓?fù)淇臻g的基本理論，要求學(xué)生從公理出發(fā)逐層推導(dǎo)，而非急于應(yīng)用.他認(rèn)為，數(shù)學(xué)的“直覺”并非天賦，而是源于對基礎(chǔ)概念的透徹理解.弟子文蘭（后當(dāng)選為中科院院士）曾提到，廖山濤在討論班中常問：“這個定義的每一步為什么不可刪減？”以此訓(xùn)練學(xué)生從根基上理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的必要性.廖山濤曾因一篇畢業(yè)論文中某個引理未徹底證明，要求學(xué)生推遲答辯一年重新推導(dǎo).他常說：“數(shù)學(xué)容不得半點(diǎn)‘可能’或‘大概’.”在動力系統(tǒng)研究中，他借鑒了古典拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)理論，開創(chuàng)了“典范方程組\"這一現(xiàn)代工具.他的“極小歧變集”理論，靈感就來源于對早期微分幾何中“流形分類”問題的重新思考.

他堅持用板書一步步推導(dǎo)，讓學(xué)生親眼見證邏輯鏈條的構(gòu)建.1980年他給學(xué)生講黎曼幾何，三個月沒有看一眼講稿.每次幾大黑板，只憑一支粉筆.他有講稿，但放在講臺上，從未打開.張恭慶（北京大學(xué)教授，中科院院士）回憶大學(xué)期間聽課，“廖先生書寫極其工整，寫一遍念一遍，非常準(zhǔn)確與嚴(yán)格，把他的板書抄下來就可以當(dāng)講義.廖先生講課的獨(dú)特之處在于精煉，當(dāng)你學(xué)完整門課后，會發(fā)現(xiàn)所有的要點(diǎn)他都覆蓋到了”.虞言林（蘇州大學(xué)教授）對廖先生的同倫論課程印象深刻，“備課極為認(rèn)真，構(gòu)思精巧，字斟句酌…課堂上寫黑板時標(biāo)點(diǎn)符號從不省略”.熊金城（華南師范大學(xué)教授）聽課感到不習(xí)慣，因為廖山濤講課不作任何渲染，但是不久以后，熊金城便嘗到了甜頭，他發(fā)現(xiàn)廖山濤給出的證明都是最簡練清晰的.王濤的書中也提到：在討論班上，廖山濤對研究生作報告的要求只有4個字“甩開稿子”.這個要求看似簡單，其實難度很大，迫使報告人把要講的內(nèi)容消化掉，全部記在腦子里.后來他們才知道這不只是對他們的要求，原來廖山濤一輩子就是這樣要求自己的.該書記載了很多廖山濤的討論班上發(fā)生的真實故事，包括讓岳澄波“瞬間醍醐灌頂”，受用終生的黑板板書“一捆一掌血，一鞭一條痕”.

廖山濤不僅數(shù)學(xué)功底極其扎實，他的數(shù)學(xué)研究更是以高度的原創(chuàng)性著稱，被國內(nèi)外同行稱為“廖山濤理論”（簡稱“廖理論”），他認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的核心是“提出好問題”，而非僅僅解決已有問題.所以，在培養(yǎng)學(xué)生時，他常引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中抽象出一般規(guī)律，并尋找新的研究方向.比如，指導(dǎo)姜伯駒（中科院院士）本科畢業(yè)論文，給他出了一個平面上連續(xù)統(tǒng)不動點(diǎn)的畢業(yè)題目，姜伯駒精讀了若干個與之相關(guān)的理論，可就是串不起來，一籌莫展.后來在廖山濤指點(diǎn)下，姜伯駒考慮了一種特殊情形，并得到了肯定回答.后來，姜伯駒才知道這個問題原來是波蘭數(shù)學(xué)家波爾蘇克在1932年提出的一個猜想，該猜想難度很大，直到今天也未得到解決.同時，廖山濤尤其注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立鉆研能力的培養(yǎng)，會根據(jù)學(xué)生的不同特點(diǎn)引導(dǎo)他們自主探索.學(xué)生回憶，廖山濤常以“你怎么看？”引導(dǎo)學(xué)生自主分析，而不直接給出答案.1957年初，在北大數(shù)力系的討論班上，廖山濤指導(dǎo)吳振德說“不能總念書，需要進(jìn)行練習(xí)，你可以先念念文獻(xiàn)”.一段時間后，吳振德仍感困難，不知如何下手，想先學(xué)習(xí)再做問題，同學(xué)江澤涵勸他不要放棄，吳振德又跑去向廖山濤說明困境，廖山濤并未多做說明，只是又指定了幾篇文獻(xiàn).一年后，在廖山濤指定文獻(xiàn)的啟發(fā)下，吳振德終于解決了其中的3個問題.針對文蘭的幾何直覺優(yōu)勢，廖山濤建議其從二維流形入手研究穩(wěn)定性問題，最終取得突破.他的學(xué)生中不乏后來成為知名學(xué)者，這與其注重學(xué)生的個性化培養(yǎng)密不可分.

盡管廖山濤的研究偏向純數(shù)學(xué)，但他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科（如物理、力學(xué)和天文）的交叉融合，他常通過動力系統(tǒng)與天體力學(xué)、流體運(yùn)動的聯(lián)系，展示數(shù)學(xué)的普適性.不同于純數(shù)學(xué)家的“自洽性優(yōu)先”，廖山濤主張“以應(yīng)用問題為鏡，反照數(shù)學(xué)內(nèi)核”.他認(rèn)為，與其他學(xué)科的碰撞能揭示數(shù)學(xué)的深層結(jié)構(gòu).在動力系統(tǒng)課程中，他引人天體力學(xué)中的三體問題、流體力學(xué)中的湍流模型，引導(dǎo)學(xué)生用阻礙集分析湍流問題.鼓勵學(xué)生閱讀物理學(xué)大師（如龐加萊、馮·諾依曼）的著作，尋找數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的共通邏輯.他通過分析生物學(xué)中的種群增長模型，啟發(fā)學(xué)生提出“動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性”的新判據(jù)，甚至親自到化學(xué)實驗室觀察某種化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象.王濤的書中有記載廖山濤在上世紀(jì)80年代，與錢學(xué)森、周培源兩位物理學(xué)大師交往的很多細(xì)節(jié).“他對應(yīng)用數(shù)學(xué)開始表現(xiàn)出特別的興趣，曾不止一次對身邊人說如果年輕20歲就要改行研究應(yīng)用數(shù)學(xué)”“認(rèn)為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，應(yīng)用將占愈來愈重要的比重，也將成為數(shù)學(xué)創(chuàng)新最豐富的源泉”.

3為人

廖山濤對學(xué)術(shù)品格極為重視——數(shù)學(xué)研究需要誠實、耐心和直面困難的勇氣.他常告誡學(xué)生：“做學(xué)問要甘于坐冷板凳，不可急功近利.”盡管學(xué)術(shù)成就卓著，他多次謝絕行政職務(wù)提名，堅持“一生只做數(shù)學(xué)一件事”.廖山濤生活簡樸，性情淡泊，為人低調(diào)，從不主動報獎，也幾乎從不申請研究基金，但做出的研究成果長期領(lǐng)先于世界.他大部分論文都是中文撰寫，少數(shù)論文用英文寫作，但很快在世界范圍引起了極大的震動，日本數(shù)學(xué)家白巖謙一（KenichiShiraiwa）回憶說：“我們原先知道中國數(shù)學(xué)家在常微分方程領(lǐng)域很強(qiáng)，但不知道他們在動力系統(tǒng)領(lǐng)域也很強(qiáng)我以前的一位學(xué)生也開始閱讀廖教授用中文發(fā)表的工作”.廖山濤不輕易落筆寫小文章，但談起大問題時總是津津樂道，他有一句名言“有本事的人靠文章捧雜志，沒本事的人靠雜志捧文章”.這種精神塑造了北大微分動力系統(tǒng)學(xué)派的學(xué)風(fēng)，學(xué)生多以“問題是否足夠深刻”而非“能否快速發(fā)表”為研究標(biāo)準(zhǔn).

廖山濤的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)教育思想體現(xiàn)了“基礎(chǔ)性、獨(dú)創(chuàng)性、學(xué)術(shù)品格”的深度融合.基礎(chǔ)性是極致扎實地理解知識后的思維范式重塑；通過經(jīng)典文獻(xiàn)與跨學(xué)科視角激發(fā)創(chuàng)新；以“冷板凳精神\"抵御功利主義，追求數(shù)學(xué)的本質(zhì)價值.席南華院士曾評價廖山濤先生是我國的數(shù)學(xué)事業(yè)中一道特點(diǎn)鮮明的風(fēng)景線，是一位“永不褪色的學(xué)者”，我想永不褪色的更是先生的數(shù)學(xué)精神和教育思想，它是一筆寶貴的財富.《默默無言散異香：廖山濤傳》一書作者王濤，作為主攻近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的學(xué)者，用明白曉暢的文筆，豐富詳實的資料，為我們生動地刻畫了廖山濤的數(shù)學(xué)精神和教育思想.這些精神和思想，在當(dāng)今普遍追求速成與量化評價的浮躁大環(huán)境中，應(yīng)當(dāng)具有深刻意義，也必將啟發(fā)眾多讀者.行文至此，我仿佛又看見了廖山濤先生，他正在黑暗的房間里艱苦地思考著數(shù)學(xué)問題，黝黯中只有一點(diǎn)暗紅色的煙頭，發(fā)出微弱的亮光.

參考文獻(xiàn)

[1]王濤.默默無言散異香：廖山濤傳[M].石家莊：河北教育出版社，2023.

[2]陳丹.20世紀(jì)50年代歸國留美學(xué)人[M].北京：中央編譯出版社，2022.

作者簡介謝圣英（1981一），女，湖南華容人，博士，美國特拉華大學(xué)博士后，副教授，碩士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)英才教育、數(shù)學(xué)教師教育及數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究；發(fā)表論文40余篇，其中SSCI、CSSCI中英文學(xué)術(shù)論文約20篇.