“元指導”：解題邏輯與思維梯度的融合設計

1引言

南宋詩人陸游曾說：“汝果欲學詩，功夫在詩外.”解題亦是如此，不應拘泥于行為本身，更應關注解題對思維和情感產生的增值效應.解題過程著力于調用已有的知識經驗，以同化或順應的方式解決當前的數學問題，進而實施同構式解題乃至解決新的實際問題.因此，解題活動是一種聯想過往、激活當下、遷移未來的高認知體驗，也是從經驗走向方法論、形成數學一般觀念的有效途徑.

2解題教學的困境與出路

當前，數學解題教學陷入“高成本、低收益”的困境.不少教師依然執著于知識碎片的傳遞和孤立技能的反復，教學指導多為方向單一、意義缺失的指令，無視思維的結構性、策略性、觀念性，從而導致“懂而不會、會而不對、對而不快”的現象頻發于學生的解題過程中，尤其對于類似問題的情境、條件、設問等一旦發生變化，學生就難以應對.究其歸因，一方面是解題思路的突兀與學生的思維慣性發生沖突；另一方面是學生未能踩準思維進階的“腳踏點”，缺少有效的思維策略，

如何突破這樣的困境，合理遷移是關鍵.當問題與問題之間存在相似性（題設與目標的相似性、應用知識的相似性、思維方法的相似性)時，遷移就可以發生.遷移有低通路遷移和高通路遷移之分，低通路以“情境一相似情境”的方式遷移，高通路以“情境一原理方法一新的情境”的方式遷移.顯然，低通路遷移是從具體到具體，只需反復練習就能達成，像學生的機械化刷題就是如此，對情境相似性的依賴性較強；高通路遷移是從具體到抽象再到具體，體現了專家思維，需要學生對解題過程中形成的數學活動經驗進行元認知，進而抽象出解決問題的一般思路與方法，最終凝練為普適性較強的數學一般觀念，從而靈活適應迥異復雜的新情境.因此，數學解題教學應盡快擺脫低通路遷移，積極探索高通路遷移的實現路徑與策略，提升數學解題的品質與實效，

3“元指導”的內涵與功能

為了實現解題經驗的高通路遷移和解題效益的最大化，對學生的解題思維進行“元指導”應是一項積極有效的嘗試.“元指導”是以厘清學習的條件、原理、規律和構成要素為出發點，以培育學生發現問題、解決問題的能力和素養為歸宿點，以揭示學習與研究的大背景、大問題、大框架、大策略為著力點，對學生進行具有較強觀念性、策略性、框架性的學習指導[1].著眼于思維層面，“元指導”主要完成兩項任務：一是細化、分解思維過程，構建思維框架，讓數學思維可視化；二是追問經驗與直覺背后的邏輯，洞悉思維的緣由、依據、路徑與策略.在任務驅動下，“元指導”能為思維搭建漸次進階、直抵高階的技術路徑，也能揭示支持路徑的思維依據、思維規律、思維策略和思維節點[2].解題思維“元指導”實質上就是讓解題邏輯顯性化、圖示化，讓思維梯度合理化、有效化

在解題教學中，思維“元指導”功能顯著，效果突出.首先，可以顯化隱性的解題思維，“看見不可見”，進一步修正教師和學生在思維經驗和思維方式上的不對稱，促進教師思維向學生思維有效轉化，并在學生的腦海中留下思維要點和思維策略的清晰印跡[3]；其次，能最大限度揭示思維的內在邏輯，厘清思維的源與流，發現新舊問題之間的相似性和關聯性，實現解題經驗的高通路遷移；再次，能引導教師更新解題教學觀念，更多地關注數學問題本質、數學一般觀念和思維策略方法，優化解題教學技術，提升解題教學實效.

4解題思維\"元指導”的過程與方法

當下，數學解題教學的目標是實現從解題經驗的凝練走向方法論的遷移.依據數學的本質理解，依據學情的診斷反饋，依據問題的深度剖析，在條件與目標之間架構邏輯自洽的思維階梯

4.1 梳理思維的要點和序列，形成結構化思維

邏輯推理是數學思維的重要表現形式，其關鍵在于把握解題的主導思想和思維框架，搭建條件和目標之間的思維階梯，具體操作表現為三個方面：

第一，分析條件和結論的代數特征和幾何意義，通過聯想相關知識與經驗，汲取問題中的關鍵信息；

第二，以全局思維審視眾多信息之間的聯系，分析它們的高低層次和前后因果，進而捕捉思維線索，探索思維流向，形成解題的主導思想和初步框架；

第三，將解題主導思想付諸實施，結構化整合相關的思維片斷，構建一個前后一致、邏輯連貫的思維階梯.

4.2解析問題的內在關聯，揭示思維的內在邏輯

如果單論解決眼前問題，那么上述的思維階梯也許可以應付，但解題的持續性價值卻被忽略了.教師應將眼前問題作為引導學生學會深度思考的載體，解析問題的內在關聯，揭示思維的內在邏輯，重點要闡明如何構建思維階梯，要追問構建的原理、依據、方法分別是什么，以致于學生突破機械模仿的困局，有效遷移解題活動中積累的研究思路、認知策略、思維方式，強化自身的學習力和創造力，進而在應對復雜的新問題時游刃有余.

4.3引導解題邏輯與思維梯度的融合設計，加強思

維可視化

解題思維的核心是邏輯推理，這一推理過程不能一蹴而就，需要進行層次化、梯度化設計.梳理、整合、歸納、反思是深刻理解解題邏輯的重要環節，可以通過圖示化、綜合化，構建邏輯自洽的思維階梯，從而將思維意象與邏輯結構自然融合并向視覺形象有效轉化.學生體驗思維可視化的過程，有助于他們明晰解決問題的一般思路與方法，也有助于他們積累數學活動經驗并遷移應用于新的問題情境.

例(2025年全國數學新高考Ⅰ卷·8)若實數_x，y，z 滿足 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，則 _x，y，z 的大小關系不可能是( ）.

“元指導”說明本題表面上看是解不定方程組的問題 ，2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z 含兩個方程，三個未知數，等價變形可得 log₂x=1+log₃y=3+ log₅z. 命題者不說 _x，y，z 滿足 log₂x=1+log₃y=3+ log₅z ，而說滿足 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，可能是因為后者比前者“美”，這種對稱結構的“美”容易啟發學生同構化處理.題設的不確定性，引發從否定角度提出問題“大小關系不可能是”，這種情況極為少見但又合情合理.究其實質，本題是函數問題，可以從代數式和圖象兩個角度入手，思維的關鍵在于如何確定 _x，y，z 的一組解，如何理解 2+log₂x=3+ log₃y=5+log₅z 的幾何意義.解題思維“元指導”的思維階梯如表1所示.

表1解題思維“元指導”的思維階梯

圖1

圖2

此題本質上研究的是函數問題，過程揭示的思維依據是函數思想，思維規律是數形結合，思維路徑是從幾何直觀到代數直觀再到代數抽象，思維策略是直觀想象、分類討論、邏輯推理

5 結束語

解題思維“元指導”為學生解決問題提供可靠的思維階梯和技術路徑.教師應整體把握解題的思維依據、思維框架和思維策略，引領學生以探索解題思路或復盤解題經驗為實踐載體，理解并遷移思維之道，發展數學核心素養.

參考文獻

[1]李昌官.元指導：基于素養與單元的學習指導范式[J].數學教育學報，2020(5)：64-68.

[2]周軍.思維“元指導”：直覺與邏輯的協同發展[J].中小學數學（高中版），2023（9）：1-3.

[3]周軍.以“元指導”推動學生思維進階的四路徑[J].江蘇教育：中學版，2023（11):87-89.

作者簡介周軍（1979—），男，江蘇宜興人，中學高級教師，宜興市教師發展中心兼職科研員，無錫市學科帶頭人，宜興市教科研帶頭人；曾獲江蘇省教科研先進個人、無錫市教科研先進個人等榮譽稱號；主要從事數學教育和課程開發研究.