統計思維視角下教材命題嚴謹性的思考與建議

1問題發現：教材命題的統計邏輯缺陷

1.1教材與教參的認知沖突

在人教A版2019教材第八章第三節中，編者在“思考”欄目明確指出：“等高條形圖可以直觀初步判斷兩個分類變量是否相關，但要準確推斷需借助卡方檢驗.”然而課后習題卻出現命題矛盾.

案例1 課本課后思考題及教參解答.

（1）等高堆積條形圖在兩個分類變量關聯性的研究中能夠起到什么作用[1]135？答：可以更加直觀地反映兩個分類變量之間是否具有關聯性[2]（2）為什么必須基于成對樣本數據推斷兩個分類變量之間是否有關聯[1]135？

答：我們要研究的問題是同一個總體的兩個分類變量之間是否有關聯，成對樣本觀測數據是來自于對同一個總體的兩個分類變量的觀測，只有成對樣本數據才能反映兩個分類變量之間是否有關聯，以及關聯的方式和程度[2].

統計結論悖論：教材例題利用頻率差異明顯但卡方檢驗得出“無充分證據證明差異存在”的結論，闡述了 χ² 檢驗的必要性，而教參卻說等高堆積條形圖可以直觀反映兩相關變量間的關系.教參對于兩個問題的解答明顯矛盾.

1.2 統計思維的認知偏差

描述性統計，是指運用制表、分類、圖形以及計算概括性數據來描述數據特征的各項活動.推斷性統計是通過分析樣本數據來推斷總體特征，并判斷差異是否由實驗變量引起的統計方法.描述性統計是數據探測的顯微鏡，而推斷性統計才是科學決策的望遠鏡.課后習題給出的標準答案是可以更加直觀地反映兩個分類變量之間是否有關聯性，將等高條形圖的功能邊界模糊化，實質是混淆了數據呈現與統計推斷的本質差異，

2等高堆積條形圖的定位與局限性

2.1 工具定位分析

在探究兩分類變量是否具有關聯時，可借助的工具有等高堆積條形圖和卡方檢驗，這兩種工具在認知層級、功能邊界與決策依據上存在顯著區別（如表1）.

表1工具定位對比

2.2 局限性分析

2.2.1可視化工具的局限性：無法量化關聯強度圖表僅顯示比例差異，但無法解決以下關鍵問題：差異是否由隨機誤差引起？差異是否具有實際意義？

案例2（人教A版2019教材，8.3.1例1）為比較甲、乙兩所學校學生的數學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生，通過檢測得到了如下數據：甲校43名學生中有10名數學成績優秀；乙校45名學生中有7名學生數學成績優秀，試分析兩校學生中數學成績優秀率之間是否存在差異[1]127.

描述性分析：甲校學生數學成績優秀的頻率 ，乙校學生數學成績優秀的頻率 0.1556，兩校數學成績優秀的頻率有明顯差異，我們可能推斷兩校學生的數學成績優秀率存在差異.

推斷性分析：根據卡方檢驗計算得

統計推斷結果：依據小概率值 α=0.1 的 χ² 獨立性檢驗，沒有充分證據推斷兩校數學成績優秀率無差異不成立，即認為兩校的數學成績優秀率沒有差異.

該案例凸顯了可視化工具的局限性，同時強調了在觀察到差異時，必須通過統計檢驗來評估統計顯著性，避免僅憑直觀印象下結論.

2.2.2 樣本容量敏感

案例3（教材習題8.3）對例1列聯表8.3-2中的數據，依據 α=0.1 的獨立性檢驗，我們已經知道獨立性檢驗的結論是學校和成績無關，如果表8.3-2中所有數據都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學校和數學成績之間的關聯性，結論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因[1]136

描述性分析：若所有數據均等比例擴大，則頻率差異不變.

推斷性分析： ≈8.37gt;7.879

統計推斷結果：根據 α∝0.005 的獨立性檢驗，有充分證據推斷 ΔH₀ 不成立，因此可以認為 H₀ 成立，即推斷兩校數學成績優秀率有差異.

該案例彰顯了樣本容量對統計推斷結果的決定性影響.樣本容量的增加提升了信息的豐富度，從而增強了統計推斷的穩定性和精度.具體到卡方檢驗，其統計量的大小與樣本容量密切相關.當樣本容量增大時，檢驗對變量間微弱關聯的探測能力顯著提高.這導致在大樣本情況下，即使變量間的實際關聯強度很弱，卡方檢驗也往往能得出統計顯著的結論.

例如，在比較兩種教學方法對學生成績的影響時，若樣本容量很大，即使兩組學生的平均成績差異極小，卡方檢驗也可能得出成績與教學方法顯著相關的結論.然而，這種差異在教育實踐中可能缺乏實際意義，不能簡單依據卡方檢驗結論做出教學干預決策，應結合效應量指標進行綜合判斷，避免“統計顯著但實踐無效”的誤導.

此外，不同研究目的對樣本容量規劃和解讀的要求各異.旨在檢測微弱效應的研究（如藥物副作用檢測），往往需要非常大的樣本容量以確保檢驗功效；而側重于評估實際應用價值的研究（如教育干預效果的評估），則應更加關注效應量的實際意義.

最后需著重強調，任何統計推斷的基石必須是真實、可信的原始數據，絕不能隨意調整、模擬或操縱數據來人為改變樣本容量.在教學中，教師應引導學生深入理解樣本容量、卡方統計量、統計顯著性和實際意義之間的內在聯系.這有助于培養學生科學嚴謹的數據分析觀念，從根本上避免對統計結論的機械、片面解讀

3教學重構：統計思維的具身學習

統計學與傳統數學在思維范式、研究方法和應用場景上存在本質區別，這種區別在當今大數據時代尤為顯著.統計學以現實世界的隨機現象為研究對象，通過概率模型揭示不確定性背后的內在規律.要學好這門學科，學生須扎根現實情境，從中提煉統計問題，經歷“數據采集 $$ 模型建構 $$ 假設檢驗 $$ 決策優化”的完整認知閉環，才能穿透數學公式的表層，真正領會統計思維的精髓與科學哲學.可惜由于應試傾向，教學內容偏少、偏難，但考試題目卻簡單易解，大部分教師對于獨立性檢驗這一小節的教學都是點到即止，獨立性檢驗的思想沒有很好地滲入，使得統計課程的育人價值并沒有體現出來.對于本文提出的問題，很多教師并沒有發現，或者發現了也沒有引起足夠的重視.如何讓學生利用有限的統計學課程充分提升統計學素養呢？抓住本文提出的問題，對學生加以正確的引導，學生的統計意識、數據分析素養將得以很大提升.

對于獨立性檢驗的教學，除了課本基礎理論知識的學習外，筆者建議增設一個認知沖突性活動設計環節：設計調查問卷在校園內展開調查并根據調查結果展開分析，深入了解判斷兩分類變量間的相關關系的方法及思考方式，案例設計如下.

案例校園冷飲偏好大揭秘適合對象：高二年級（1課時/40分鐘）.

活動目標：

（1）理解等高條形圖的描述性功能及卡方檢驗

的必要性;（2）體驗從收集數據，觀察數據，分析數據到檢

驗的完整分析流程；（3）感知樣本量對統計結論的影響；（4）培養數據解讀的批判性思維.活動流程：

（1）數據采集.課前發放電子問卷并收集相關數據（示例問題如表2）.

表2問卷調查

（2）數據偵探初體驗（3）活動反思.

表3數據偵探初體驗

① 在分析數據時，你注意到哪類性別與購買頻率之間的關聯模式？

② 對比不同樣本量的結果，有什么意外發現？如果需要了解全校學生的情況，你認為樣本容量多少比較合適？如何設計抽樣方法？

③ 如果要在社區超市開展類似調查，你會如何改進本實驗的設計？

設計亮點說明：

（1）情境真實：選用校園生活場景，數據采集便捷且易引發共鳴，

（2）認知階梯：從直觀觀察到定量驗證的漸進 式學習路徑.

（3）教學意義：通過數據收集、整理、分析和推斷的全過程，真正理解獨立性檢驗相關知識、方法本質，形成基于數據的決策思維評價.活動設計推動統計思維從“解題”轉向“解現實問題”.

4統計學板塊的教學反思

4.1善于思考，勇于質疑—立足教材差異探尋學 科本質

統計學作為一門晚近興起的學科，其邏輯體系與傳統數學存在顯著差異.以“獨立性檢驗”為例，不同版本教材（如人教A/B版、北師大版、滬教版、蘇教版）在概念闡述、問題情境設計甚至推導路徑上均呈現多樣性.究其根源，獨立性檢驗思想誕生于20世紀初卡爾·皮爾遜的卡方檢驗理論，其方法論直至近年才形成統一框架.教材編寫的歷史短暫性導致內容呈現分歧，體現了統計學學科發展的動態特征.對此，教師需主動突破教材局限，深度橫向分析各版本對“獨立性檢驗”假設條件、臨界值解釋的異同，追溯統計學思想本源；針對教材中模糊表述和教參給出的答案，應結合學術文獻與教學實踐提出批判性解讀，避免照本宣科.

4.2聚焦素養，深化實踐一構建數據驅動的能力生成路徑

新課標背景下，統計學教學需以數據分析素養為錨點，突破“公式一計算”的淺層模式.教學可以結合真實案例，通過串聯“數據收集 $$ 整理 $$ 分析 $$ 推斷”的完整鏈條讓學生體驗從“問題混沌”到“決策明晰”的建模過程，從“正確答案”的單一追求轉向關注學生邏輯自洽性、模型批判力以及結論解釋力的生成與建構.同時，我們可以設計分層評價量表，將“能否用統計語言嚴謹表達推斷邏輯”“能否識別數據陷阱”等維度納人考核，以凸顯素養導向的教學理念.

參考文獻

[1]章建躍，李增滬.普通高中課程標準實驗教科書·數學·選擇性必修三：人教A版[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍，李增滬.普通高中課程標準實驗教科書·數學·教師教學用書·選擇性必修三：人教A版[M].北京：人民教育出版社，2020：172.

作者簡介朱燕（1985一），女，四川成都人，成都市石室成飛中學教師；研究方向為中學數學教學，有多篇論文獲四川省論文評選一等獎.

蘇文玉（1986—），男，四川成都人，中學數學教研員；研究方向為中學數學評測與教學，有多篇論文發表.