教材為舟，渡人至遠

教材是一個不語的智者，內涵豐富、思想深邃，與其對話將受益無窮.分析歷年高考題，大多根植于教材，卻又在難度和綜合性上有所升華，這就啟發我們借力教材來提升解題能力[1].隨著高考試題創新性的提升，只掌握教材中的基礎方法已無法滿足拔尖培優的需求.于是需要將目光轉向教材蘊含的隱性知識，搭建思維訓練框架，切實強化學生的知識遷移與應用能力[2].

1 題啟深思

在本校高三某次數學測試中，出現了如下試題：“求雙曲線 與雙曲線 的離心率之比.”雖然很多同學可以得到正確答案，但是心有疑惑，不知如何將這兩個熟悉的函數轉變為標準形式的雙曲線.其實，早在《義務教育教科書·數學（人教版）》九年級下冊的教材第6頁就出現了“一般地，反比例函數 的圖象是雙曲線”的內容，但在初中階段沒有雙曲線的概念，教師也難以深入解釋.那么在初中課本上出現的疑問，高中階段又該如何嚴謹的證明呢？

不難發現，上述兩個圖象經過旋轉便可以得到“標準”的雙曲線，而這個方法在教材中早已有所闡述

2 追溯教材

在《普通高中教科書·數學（人教A版）》必修第二冊（下簡稱《必修二》）第87頁（見圖1）詳細介紹了復數乘法運算的幾何意義.

接著，利用復數乘法的幾何意義證明《必修二》53頁11題給出的向量坐標旋轉公式：“已知對任意的平面向量 ，把 繞其起點沿逆時針方向旋轉 θ 角得到向量

+ ycos 0）.\"

兩個復數z1，z2相乘時，可以像圖7.3-6那樣，先分別畫出與z1，z2對應的向量 ，然后把向量OZ繞點 o 按逆時針方向旋轉角 θ_z （如果 θ_zlt;0 ，就要把OZ繞點 o 按順時針方向旋轉角 ∣0₂∣） ，再把它的模變為原來的 r₂ 倍，得到向量OZ，OZ表示的復數就是積 z₁（z₂ 這是復數乘法的幾何意義.

圖1 復數乘法運算的幾何意義

證明 設向量 對應的復數為 z₁=x+yi ，向量 對應的復數為 z₂ ，由復數乘法的幾何意義知 z₂= z₁×（cosθ+sinθ）=（x+yi） （cos θ+sinθ） =（xcos θ- ysin θ）+ （xsin θ + ycos 0）i，得AP =（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ） ：

進一步，我們利用上述公式證明：函數 為雙曲線.

證明 設點 P（m，n） 在 上，把該點繞原點逆時針旋轉 得到點 P₀（x₀，y₀） ，即 代人 中，得到 mn-m²=1 ，整理得 （24號 ，顯然為雙曲線.

請讀者用類似方法證明函數 也為雙曲線.

3 綜合運用

下面將給出幾道典型例題，以便更好地闡述復數乘法的幾何意義在解題中的實用性與簡便性

例1 （2025年江西高三聯考）已知點 ^A，B，C 在曲線 上，等腰直角三角形ABC的頂點按逆時針排列，且 求直線 AB 的斜率的取值范圍

分析 常規思路為寫出三點坐標，利用弦長|AB|=|AC| 且 得到三點坐標的關系，進而求出直線 AB 的斜率范圍；但若從動態的觀點看題，弦 AC 可以看成弦 AB 逆時針旋轉 90^° 得來，那么旋轉設點便顯得順理成章.

解方法1（常規設點法）：設點 A 為 B c 為 有BA

由 ，得到 0，故 a²bc=- 1 ，即

再設直線 AB 的斜率為 k ，則 易得 ab= ，ac=k，記為（*）式.

又有 |AB|=|AC| ，即 化簡得 將 （*） 式代人，得到

又 ΔABC 的頂點按逆時針排列，當 kgt;0 時，必有點 ^A，C 在曲線同一支，且 k=acgt;a² ，故而 ；當 klt;0 時，必有點 ^A，B 在曲線右支，點 C 在曲線左支，故而 ，那么 ，于是有 由 a²gt;0 ，，得到 k∈（-∞，-1）∪ （1，+∞）

綜上， ，k∈{-∞，-1）∪（1，+∞）

方法2（旋轉設點法）：設 ，利用向量坐標旋轉公式，易得 ，則直線 AB 斜率 ，設點 則點 B 為 ，點 C

因為點 ^B，C 在曲線 上，所以 （a+s） ： ， 兩式相加有 ，即 ，解得 k∈（-∞，-1） U（1，+∞） ：

【例題評析】法1是考場上大部分學生的解題思路，雖能走到最后，但一路運算繁瑣，其中對 |AB|= |AC| 的幾何條件翻譯成代數語言的式子很復雜，計算量也大，對代數變形的能力要求很高；另外，最后對 的證明，需要很強的直觀想象與邏輯推理能力，此法稍有失誤便前功盡棄；法2來自教材，通過旋轉設點，較為簡便地得到斜率的表達式，突出了解析幾何多思少算的命題特點，做到高效解答.

【解后思考】通過兩個方法的比較，進一步理解了旋轉設點的優勢，方法很巧妙，但未接觸過的學生很難靈活運用.考試的臨場表現充滿變數，這對學生的基礎技法與應變能力提出了更高的要求，這更要求在平時的教學中立足教材，深人挖掘知識內核，系統總結解題方法與技巧[3].通過梳理教材中的典型習題和知識脈絡，不僅能讓學生在考試中靈活運用所學，更能深刻理解知識模塊之間的內在聯系[4].

例2如圖2放置的邊長為2的正方形ABCD，頂點 ^A，D 分別在 x 軸 ?^y 軸的正半軸（含坐標原點）上滑動，求 的最大值.

圖2

分析 本題主動點為 A ，D ，于是變量為這兩點的坐標.

難點在于如何利用所設坐標表達點 B，C. 可以借助復數乘法的幾何意義，將 繞點 A 順時針旋轉 90^° 從而得到 ，進而利用向量的數量積以及不等式的性質解題.

解設點 A（a，0），D（0，d） ，其中 a?0，d?0 且滿足 a²+d²=4 ，則有 ，其對應的復數為

結合圖形，可得 所對應的復數為 （-a+ ，即 gravea_? .又 ，所以 +2ad?4+a²+d²=8 ，當且僅當 時取等號.

【例題評析】本題很好地將平面向量、復數、解析幾何知識進行轉化和化歸，將幾個知識板塊相融考查，并借助復數乘法的幾何意義，旋轉設點，將各點坐標進行表達，再次體現了該法在解決旋轉問題時的便捷與高效.

例3（2023年全國Ⅰ卷第22題）在直角坐標系 _xOy 中，動點 P 到 x 軸的距離等于點 P 到點 的距離，記動點軌跡為 W

（1）求 W 的方程；（2）已知矩形 ABCD 有三個頂點在 W 上，證明：矩形ABCD的周長大于

分析第（2）問常規做法為設點 A 坐標及直線AB 的斜率，接著用所設兩個變量表達弦長 ∣AB∣ ，|AD| ，再利用函數或者不等式知識求出絕對值函數的最值，再說明最值無法取等.當然，由例2的啟發，可以借助復數的幾何意義表達正方形的邊長，引入三角函數進行運算，從而簡化過程

解

（2）由平移不變性，不妨令點 ^A，B，D 在曲線 y=x² 上，設點 對應的復數為 r₁（cosθ+sinθ） ，從而有點 B 為 （a+r₁cosθ，a²+r₁sinθ） ，易得 對應的復數為 ，從而有點 D 為 （a- r₂sinθ，a²+r₂cosθ） ·

由圖象對稱性可令 又因為 ^B，D 在曲線 y=x² 上，計算可得 ，從而有

，故而 r₁cosθ+r₂sinθ=

1

（i）當cos θ?sinθ 時，有 （r₁+r₂）cosθ≥r₁cosθ 即 ， ，再由均值不等式得 2sin²θcos²θ ，于是有 又因為兩個不等式無法同時取等，則周長為

（ii）當cos θ?sinθ 時，同理綜上所述，矩形 ABCD 的周長大于

【例題評析】本證法利用復數乘法的幾何意義，將矩形頂點對應成復平面上的向量表示，通過模長運算與旋轉設點表示出矩形的周長后，再利用三角恒等變形和不等式知識求出最小值.與常規方法相比，該方法從另外一個角度省視題目，顯著降低了運算復雜度，頗具創新性.

【解后思考】解析幾何中遇到圖形內角為直角，常會設兩直線的斜率，再利用斜率關系消元，但從上面兩例可知，若能從旋轉角度來看直角，便可快速得到各點坐標，從而實現“曲徑通幽處”的妙解

當然，此題另一個自然的思路是利用直線參數方程：設點 A（a，a²） ，直線 _AB 的參數方程為 由點 ^A，B 在曲線上得到 a²+t₁sinθ ，=（a+t₁cosθ）² ，易得 ，將 θ 替換為 θ+90^° ，便得到 最終，兩法得到了相同的表達式，殊途同歸.而在《必修一》第68—69頁“探究與發現”中，教材也詳細介紹和講解了參數方程的由來.再次體現了技從教材來，法在教材中！

4 回溯反思

4.1 教學思考

大部分學生在解決解析幾何問題時，通常會采取計算優先的解題策略，這就可能導致陷入復雜運算的困境中.解析幾何首先指向的是幾何問題，因此運用幾何直觀應該是先行步驟，而復數乘法的幾何意義本質上是從幾何變換抽象出復數運算，再經過運算結果得到幾何性質，從而達到“數形互釋”的思維閉環.解題時，如若遇到旋轉、伸縮、對稱或線段長度約束的情況，該方法將展現出直觀性強、運算量少的優勢.通過復數乘法幾何意義的教學，有助于培養學生從“代數運算主導”轉向“數形齊頭并進”的解題意識，對養成學生“以形助數”的數學思想方法大有裨益

近年來，高考試題注重考查學生面對綜合問題或困難情境時展現的數學素養和思維品質.這就要求教師需要幫助學生實現從“解題技巧”到“思維方法”的進階，在面對跨模塊的綜合問題時，能夠批判性地選擇解題方法[5]

4.2 教學建議

4. 2. 1 借力教材，深度對話

在高考復習時，教師容易出現“補充大量技巧卻超出學生水平”的情況.其實，高中數學的基礎夯實至何處，思維提升到何種程度，教材中早已言明.在每個章節后，教材都提供了“閱讀與思考”或“探究與發現”等欄目.比如《必修二》第七章“復數”中，出現了代數基本定理、1的 n 次方根等拓展內容，而這些不正是培養學生數學閱讀能力和提升思維品質的良好素材嗎？

4. 2. 2 進階選題，啟迪思維

對于質優生，需要適當拔高習題難度，卻又不可脫離知識體系去追求偏題怪題，忽視基礎與思維的雙重發展.教師可以擴大選題范圍，在全國高中數學聯賽的一試或各省的預賽題中精選符合學情的題目.

比如，復數乘法的幾何意義是數學競賽中的常考內容，可以選取以下兩題作為練習： ①2020 年高中數學聯賽一試第11題：“在平面直角坐標系中，點 A ，^B，C 在雙曲線 xy=1 上，滿足 ΔABC 為等腰直角三角形，求 ΔABC 的面積最小值”； ②2023 年上海市高三數學競賽第11題：“給定 RtΔABC ，其中 ∠ACB= 90^°，BC=a，CA=b. 點 D，E，F 分別在邊 BC，CA，AB 上，使得 ΔDEF 是正三角形.求 ΔDEF 的面積最小值.”通過這些競賽題的使用，既能夠強化學生對復數乘法的幾何意義的理解，又能夠提高邏輯推理與解題應變能力.

4.2. 3 學科綜合，創設情境

數學核心素養的培養需要打破學科壁壘，在復雜的真實情境中實現數學知識的輸出與應用，通過跨學科應用能夠有效考查學生的數學建模、數學抽象、直觀想象等核心素養，為培養創新應用型人才打下堅實基礎.在編制測試題時，應該有意識地融合其他科目的知識，為學生構建更立體、更具現實意義的解題場景.

比如，在物理學科的矢量分析中，速度、力等矢量的旋轉合成就可以通過復數乘法呈現.為深化學生對這一跨學科知識的理解與運用，教師不妨在班級開展別開生面的編題比賽，讓學生在物理模型中抽象出數學問題，在數學問題中加人生動的物理背景，實現知識的融會貫通與能力的全面提升，讓數學核心素養真正地落地開花[6].

5 結束語

教材為舟，渡人至遠！從高考試題到數學教材的溯源，不僅可以探尋高考命題規律，更是對數學教育本質的不懈追求.教材承載著數學核心素養與數學育人目標，以教材為舟方能在高考改革的大潮中披風破浪，培養出兼具扎實基礎與創新能力的時代新人[7].

參考文獻

［1]彭科.“三新”背景下高三數學復習備考策略思考［J].中學數學，2024（11）：118-119.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]胡文茜.復數運算的幾何特征及實踐研究[D].長沙：湖南師范大學，2016.

[4]李云杰.高三復習備考如何回歸教材：以人教A版教材習題教學設計為例［J].中小學數學（高中版），2024（11） ：16-19，21.

[5]商全.高中課堂教學中學生數學應用意識的培養[D].武漢：華中師范大學，2023.

[6]盧陽.高考數學中數形結合思想的研究及啟示［D].鄭州：河南大學，2019

[7]周裕燕，林峰.夯實必備知識，培育關鍵能力，發展學科素養：基于《中國高考評價體系》的高三數學復習策略[J].福建教育，2023（2）：34-36.

作者簡介盧陽（1995—），男，安徽宣城人，碩士，中學一級教師；研究方向為高考與競賽解題；所帶學生多人獲得省級獎項.

洪資博（2006—），男，福建泉州人，本科生；研究方向為高考數學解題.