數(shù)學家融入數(shù)學課程和教學的策略探討

1 問題提出

當下數(shù)學課改倡導數(shù)學文化融人課程內(nèi)容，主張借助數(shù)學文化發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).比如《課標（2017年版）》就指出：“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動.”[1]“人事有代謝，往來成古今”，著名數(shù)學家在數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展方面居功至偉，在數(shù)學文化的傳播輻射方面舉足輕重，因此一般都主張將相關(guān)素材融入數(shù)學課程，幫助了解歷史人文、彰顯以文化人.具體地，以數(shù)學史上最為有名的四大數(shù)學家——阿基米德（前287年—前212）、牛頓（1643—1727）、歐拉（1707—1783）和高斯（1777—1855）中的阿基米德為例，他在數(shù)學教材中的“出鏡”和“戲份”如何？如果不理想，那么又是什么原因?qū)е碌模炕谡n改理念又該以什么方式讓他走進數(shù)學課程教學，以便落實課改理念發(fā)揮更多數(shù)學教育功能？以下就相關(guān)問題，談談我們的思考.

2 現(xiàn)狀考察

首先來看看初高中數(shù)學教材中，有關(guān)阿基米德的編寫概況.以人教版初中數(shù)學教材為例，只是在有關(guān)圓周率的“閱讀與思考\"欄目中有一句話提到，阿基米德通過圓內(nèi)接和外切正多邊形逼近圓周的方法，得到圓周率介于 之間[2].以人教A版高中數(shù)學教材為例，只是在有關(guān)海倫和秦九韶的“閱讀與思考”欄目中有一句話，提到據(jù)說公式 s= 最早是阿基米德發(fā)現(xiàn)的（類似于楊輝三角和賈憲三角的張冠李戴）[3].進一步查閱多個版本中學數(shù)學教材后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史上最為出名的四大數(shù)學家中，牛頓、高斯和歐拉等在不同位置都有所出現(xiàn)，但是時間最早、號稱“數(shù)學之神”的阿基米德卻很少露面.古希臘鼎盛時期三大數(shù)學家（歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯）中，阿基米德在教材中體現(xiàn)最少，甚至比阿基米德名氣和貢獻小得多的一些后世數(shù)學家，都有較多篇幅或次數(shù)提及.雖然阿基米德的相關(guān)素材可以在不同課程資源（比如教學參考和學習輔導書等）中以恰當方式得以體現(xiàn)，但是在教材中的編寫呈現(xiàn)確實和阿基米德數(shù)學成就及高度評價形成一定反差.

仔細分析上述情況，可能有以下幾種原因：第一，雖然阿基米德名氣很大，但是時代久遠（比其他3位大數(shù)學家早約2000年），很多原始資料已經(jīng)遺失，僅存?zhèn)魇啦牧现幸牲c也不少.第二，阿基米德研究內(nèi)容、符號和方法等和今天的中小學教學相比有很大的差異.如果不是專業(yè)的數(shù)學史研究人員，那么閱讀阿基米德相關(guān)著作并不輕松，因此容易曲高和寡不便普及.它們既不像高斯解決數(shù)列求和問題那樣耳熟能詳，也不像牛頓發(fā)明微積分那樣萬眾矚目.第三，因為初中物理中早就學習過浮力定律并介紹過阿基米德，所以人們已經(jīng)潛意識把阿基米德僅僅當成物理學家，而忽視了他作為鼎鼎大名數(shù)學家遠超時代的數(shù)學貢獻了.第四，課程設(shè)計實施時規(guī)劃重視不足，從而使得阿基米德“出鏡”偏少（教師教學實施中，也鮮有精彩設(shè)計和普及推廣）.基于上述簡要分析，建議阿基米德進人數(shù)學課程與教學時，應該注意以下策略.

3 策略主張

3.1 呼應知識關(guān)聯(lián)

數(shù)學知識是數(shù)學教學的載體，數(shù)學家進人數(shù)學課程和教學，首選要結(jié)合中學具體知識內(nèi)容，關(guān)聯(lián)阿基米德的重要學術(shù)貢獻，并在教材中或多或少地循環(huán)滲透.第一，在人教版初中八下第16面閱讀材料

阿基米德最初發(fā)現(xiàn)這個公式的，或者在教材中指明最初是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，或者在教參中作為補充材料供教學選用.第二，在介紹圓周率計算時，要類似于人教版九上教材那樣提到數(shù)學史上最早是阿基米德確定了圓周率的大致范圍.第三，在講解十進位制時，也可以提到數(shù)學史家們有這樣的慨嘆，即聰明如阿基米德之類的大數(shù)學家也沒有更早提出如此簡便的計數(shù)制度，從而體會計數(shù)制度的重要性以及中國計數(shù)制度的先進性.第四，可以結(jié)合科學計數(shù)法，提及阿基米德當年的砂粒計算問題，以便讓學生感受當下科學計數(shù)法的精妙難得，也可以設(shè)計如下試題讓學生發(fā)展計算能力.比如，阿基米德曾經(jīng)說“給我一個支點，我可撬起地球”，果真給了支點，阿基米德能夠撬動地球嗎？我們不妨來估算一下，假設(shè)具有這樣堅硬無比的細長杠桿，找到了足夠牢固的支點，阿基米德體重 60kg ，已知地球質(zhì)量約是 6×10²⁴kg ，假如阻力臂是 10^-4mm ，那么動力臂需要 10¹³km .按照 100km/h 的速度不間歇開車走完這段路程，大約需要1142萬年！第五，在講解圓的面積理解時，提出阿基米德曾經(jīng)證明出圓的面積等于以圓周長為底、以半徑為高的三角形面積，以便發(fā)展幾何直觀能力，這和中國的劉徽“半周乘半徑為圓冪”觀點一致.第六，在講解極坐標時，專門提及阿基米德螺線以及其他螺線（螺線可分為平面螺線、立體螺線，典型的平面螺線有阿基米德螺線、對數(shù)螺線和雙曲螺線等）.第七，在講解面積計算時，提到數(shù)學命題“鞋匠的刀\"問題.第八，在講解體積計算時提到圓柱容球問題，特別是指明在沒有微積分的古希臘有關(guān)曲面圖形（圓、球以及圓柱等）面積、體積計算問題很難.第九，在講解前 n 個正整數(shù)平方和公式 1²+2²+ （204號 ）時，提到最初的發(fā)現(xiàn)者是阿基米德等[4]；在講解等比數(shù)列求和時，提到無窮遞縮等比數(shù)列 的阿基米德求法.在講解實數(shù)的阿基米德性質(zhì)（任意給定兩個正實數(shù) ^a，b ，必存在正整數(shù) n ，使 nagt;b. ）時，專門提及阿基米德的貢獻.第十，特別是在微積分數(shù)學閱讀中，可以介紹阿基米德在已知圓柱和圓錐的體積公式條件下，怎樣通過杠桿原理求出球的體積公式，以便體會阿基米德穿越時空的積分學思想.

3.2 契合課標理念

阿基米德身上發(fā)生的很多故事，非常契合當下數(shù)學課標中的不少理念，應該在教材中的有關(guān)閱讀材料或者教學中的設(shè)計環(huán)節(jié)有所體現(xiàn)，具體可從以下幾個方面著手安排.第一，課程思政.阿基米德具遭受敵人攻擊時，他沒有逃離，而是幫助設(shè)計出許多新式武器來守城，據(jù)說最終被敵軍殺害.第二，英雄氣概.當阿基米德發(fā)現(xiàn)杠桿原理后，他說出了豪氣干云的勵志名言：“給我一個支點，我可撬起地球.”第三，專注精神.當下的很多學生沉迷手機游戲和互聯(lián)網(wǎng)虛擬空間，而阿基米德專注是出了名的，他曾經(jīng)因為沉迷皇冠問題而忘記了在洗澡光著身子跑上大街，會忘記食物和其他生活必需品，他還會在爐灰上勾畫幾何圖案，甚至會在身上抹油然后在上面繪圖.甚至因為專注于在地上作圖，而被無知的羅馬士兵斬殺[5]5.第四，數(shù)學審美.無論是海倫-秦九韶公式的輪換對稱，或是圓柱容球的出人意外（表面積和體積之比均是 2：3 ），還是阿基米德螺線的流暢優(yōu)美等，都是數(shù)學審美的重要素材.特別是圓柱容球問題，因為它簡單深刻而又富有審美，所以菲爾茲獎章以此作為浮雕圖案.第五，思維品質(zhì).“對于習慣于現(xiàn)代方法所保證的快捷性和直接性的數(shù)學家而言，也許最令人印象深刻的是阿基米德處理他的任何一個重要問題時的特點：深思熟慮與面面俱到.正是這個特點及其隨之產(chǎn)生的效用，使其獲得了更多贊賞.”[5]17 數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學是思維活動的教學.如果說“發(fā)展學生的思維是數(shù)學教學的永恒的主題”的話，那么數(shù)學思維品質(zhì)無疑是發(fā)展數(shù)學思維的重要路徑.而阿基米德之所以成為后世膜拜的大數(shù)學家，就是在思考問題的邏輯性（深刻性）、靈活性、創(chuàng)造性、批判性、敏捷性.第六，學術(shù)道德.阿基米德具有良好的學術(shù)道德，從不會通過貶低別人來夸大自己的成就，反而經(jīng)常提到自己因前人的成果而得到啟發(fā).他也坦承有些問題的求解折磨他許久．凡是用到他人成果之處，阿基米德都明確指出[5]1.這種學術(shù)態(tài)度和治學精神，確實值得大力宣揚和努力繼承.第七，情感態(tài)度.阿基米德的傳奇故事和個性魅力，比如甄別真假王冠、藐視野蠻暴力、設(shè)法保家衛(wèi)國、墓址撲朔迷離、后世高山仰止等話題，這些都為他披上了神秘面紗，可以吊起學生學習胃口，容易激發(fā)學生情感態(tài)度.第八，墓碑文化.阿基米德認為圓柱容球圖的表面積和體積之比均是2：3 ，這個結(jié)論是自己最重要的成就.阿基米德曾經(jīng)懇求他的朋友和親戚，在他的墓上放置一個內(nèi)部有相切圓球的圓柱體，并在其上鐫刻圓柱體與圓球的體積及面積之比.這個結(jié)論的得出放在今天相當簡單，但是穿越回去看確實極其不易.阿基米德墓碑可以和丟番圖、高斯、雅各布·伯努利、陳省身、陳景潤等人的數(shù)學特色墓碑串成一個系列，作為學生數(shù)學文化的重要探究話題.第九，注重應用.古希臘時期的很多數(shù)學家，認為應用數(shù)學不是好的數(shù)學，他們偏向理論忽視應用，重視幾何忽視代數(shù)，等等.但是阿基米德是個例外，雖然他看重理論但是卻有很多實用發(fā)明創(chuàng)造.第十，學科融合.前面所說的利用杠桿原理的積分思想和利用不等臂天平推導出基本不等式，都是跨學科的典型案例.在學習反比例函數(shù)時，也可以借助杠桿原理滲透數(shù)學眼光培養(yǎng).比如，杠桿平衡公式“動力 × 動力臂 σ=σ 阻力 × 阻力臂\"（常用 F₁l₁=F₂l₂ 來表示），如果阻力和阻力臂之乘積是常數(shù)的話，那么動力和動力臂就是反比例關(guān)系.由此可見只要動力臂足夠長，就可以“以小博大”了，從而解釋了為什么使用剪刀、起子、扳手等時會省力氣.

3.3 兼用多元方式

數(shù)學家進人數(shù)學課程和教學的方式是多元的，不應該僅僅局限于教材中的數(shù)學文化閱讀.從教學載體上來說，可以是紙質(zhì)教材或電子資源，可以是數(shù)學教材、課外閱讀或教輔材料.從教材編寫角度來說，位置可以靈活處理，比如引言、正文、邊注（包括二維碼和網(wǎng)址鏈接等）、習題和數(shù)學閱讀等.以人教版初中數(shù)學教材習題中提到菲爾茲獎章統(tǒng)計為例，該題涉及華人獲獎者丘成桐信息，編寫用意相當出彩.教材可以進一步稍微增添相關(guān)介紹，配置阿基米德畫象及其最得意的研究成果圓柱容球圖，指明它被以浮雕形式鐫刻在菲爾茲獎章上面，并帶出獲得此獎的華裔數(shù)學家陶哲軒.實際上更進一步可以設(shè)置拓展作業(yè)，讓學生去查閱并整理數(shù)學界著名獎項、獎牌設(shè)計以及獲獎信息等.2017年江蘇高考有道試題：在圓柱 O₁，O₂ 內(nèi)有一個球 o ，該球與圓柱的上下底面及母線均相切.記圓柱 O₁O₂ 的體積為 V₁ ，球o 的體積為 的值是 .該題可以作為數(shù)學閱讀題進入教材，也可以在課堂教學中出現(xiàn)[7]，當然最后都應該畫龍點晴，指出這是阿基米德自己最為得意的研究成果，它體現(xiàn)了數(shù)學和諧與奇異之美.

從具體技巧來說，可以選用點綴式、附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式五類（其中前三者是顯性融合，后兩者是隱性融合）[8]，或采用古題今解、古法今用、古法今釋、古法今探、古史今編和古史重構(gòu)等[9].具體采用數(shù)學家小傳、肖像插圖或者數(shù)學小史等均可.從教學實施角度，可以體現(xiàn)課程思政滲透，或者彰顯學科交叉融合，比如與物理的融合有杠桿原理、浮力定律等，與天文學或者造紙術(shù)（阿基米德著作《方法》的發(fā)現(xiàn)和造紙術(shù)有關(guān)）結(jié)合，或者體現(xiàn)技術(shù)整合[10]，等等.又如，阿基米德螺線背后的螺旋用處很多，不僅僅局限于揚水器，而且還有輪船和飛機的螺旋槳，以及鉆頭和螺釘?shù)龋哂兄匾膶嵱脙r值[5]9.

4結(jié)束語

E.T.貝爾（Bell，1883—1960）曾說：“任何一張列出有史以來三個最偉大的數(shù)學家的名單中，必定會包括阿基米德，另外兩個通常是牛頓和高斯.不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景來對比，拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德.”后世的科學大咖達·芬奇、伽利略和萊布尼茨等，都甘當阿基米德粉絲并拿他來做自己的人生楷模.從已有著述來看，阿基米德不僅僅是一個物理學家，更為主要的是一個數(shù)學家.有關(guān)阿基米德的傳奇故事、學術(shù)貢獻以及思想方法等，具有重要數(shù)學教育教學價值（科學、應用、文化和審美價值兼?zhèn)洌鹾袭斚聰?shù)學課程改革的眾多理念.我們應該全面地挖掘相關(guān)素材，在呼應知識關(guān)聯(lián)和體現(xiàn)多元方式基礎(chǔ)上，合理地將有關(guān)阿基米德等數(shù)學家融人數(shù)學課程和教學中.

參考文獻

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[8]蒲淑萍，汪曉勤.數(shù)學史怎樣融入數(shù)學教材：以中、法初中數(shù)學教材為例[J].課程·教材·教法，2012，32（8）：63-68.

[9]章飛，胡晉賓，顧繼玲.數(shù)學史融入數(shù)學教材的方式探析[J].數(shù)學通報，2023，62（10）：19-23，46.

[10]張志勇.數(shù)學史因技術(shù)而生輝，技術(shù)于數(shù)學中得涵養(yǎng)：以拋物線弓形面積的阿基米德算法教學為例[J].中小學教學（高中版），2019（9）：60-63.

作者簡介劉洪璐（1979—），女，江蘇南京人，碩士，中學高級教師；南京市優(yōu)秀青年教師、學科帶頭人，曾獲2010年第五屆全國青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示活動一等獎；主要從事高中數(shù)學教學與設(shè)計研究.

胡晉賓（1975—），男，安徽安慶人，編審，雙碩士、博士，江蘇第二師范學院教師，主要從事數(shù)學課程與教學論的教學及研究.