數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用

摘 要：數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育有著很大的意義，這在十九世紀(jì)就已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)史家們的注意。針對在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視對數(shù)學(xué)史的教育的這一現(xiàn)象，本文結(jié)合相關(guān)資料談一談數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史 中學(xué)數(shù)學(xué)教育

引言

伴隨著信息時代的到來，數(shù)學(xué)知識更加廣泛和自覺地滲透到科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)開始更加緊密地和其他學(xué)科聯(lián)系起來，成了一種指導(dǎo)人們的“現(xiàn)實文化”。英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海德（Whitehead）曾經(jīng)說：“數(shù)學(xué)是對于客觀世界的量化模式的建構(gòu)與研究?！边@是對當(dāng)今數(shù)學(xué)的特征的總結(jié)。可見，當(dāng)今世界要有所作為數(shù)學(xué)知識必不可少，中學(xué)數(shù)學(xué)又由其基礎(chǔ)性，更是非學(xué)好不可，專業(yè)知識與歷史知識總是互為補(bǔ)充的。就是說，不僅研究、學(xué)習(xí)歷史需要具備一定的專業(yè)知識，數(shù)學(xué)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)的工具；而且學(xué)習(xí)專業(yè)知識也同樣需要用歷史知識幫助分析和思考?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史應(yīng)用和發(fā)展趨勢?！币虼耍寣W(xué)生了解數(shù)學(xué)課程的發(fā)展歷史是促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要途徑。利用數(shù)學(xué)史不但可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的了解，同時還可以在很大程度上拓展學(xué)生的視野。

一、數(shù)學(xué)史能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

新課標(biāo)提出教師除了傳授知識以外，還應(yīng)該把情感、態(tài)度的培養(yǎng)作為教學(xué)中一項重要工作，只有這樣，學(xué)生才會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣，而興趣在學(xué)習(xí)中所起的作用是眾所周知的。“知之者不如好之者”，教師要努力培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，至少不要使學(xué)生厭惡數(shù)學(xué)。美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，使學(xué)生處于被動接受狀態(tài)會壓抑學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，主張在教師精心引導(dǎo)下，教學(xué)方法應(yīng)該多種多樣，以使學(xué)生逐漸產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣?？梢哉f一個教師教學(xué)成功的關(guān)鍵就在于是否能培養(yǎng)學(xué)生對該學(xué)科的興趣并使其能長久地保持下去。在實際教學(xué)中一般應(yīng)注意下列事項：

(1)注意每堂課的開始，每節(jié)、每章及整個課程的開始，使學(xué)生有興趣，能吸引其注意力，好的開始是成功的一半。

(2)針對青少年心理，可以采用故事方式，語言要生動，富于啟發(fā)性，使學(xué)生常有新鮮感。了解數(shù)學(xué)史，能增長見識，開拓視野，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的興趣。華羅庚、陳景潤都是非常出色的數(shù)學(xué)家，華羅庚促進(jìn)了奧林匹克數(shù)學(xué)的發(fā)展，陳景潤與歌德巴赫猜想的故事為中國人贏得了驕傲。牛頓由蘋果自然落地而發(fā)現(xiàn)、提出了萬有引力，在力學(xué)研究史上是一次很了不起的發(fā)展；愛迪生不畏困難，對科學(xué)執(zhí)著追求，才博得了“發(fā)明大王”的稱號。又如，高斯7歲那年上學(xué)了。頭兩年沒有什么特殊的事情。1787年高斯10歲，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班次，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學(xué)教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長起了很大的作用。在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學(xué)生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來的算術(shù)題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個不真實故事。據(jù)對高斯素有研究的著名數(shù)學(xué)史家E.T.貝爾（E.T.Bell）考證，高斯10歲時，布特納剛敘述完題目：81297+81495+81693+…+100899，高斯就算出了正確答案。貝爾根據(jù)高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應(yīng)該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法這一特點。聽了這些故事學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，都會準(zhǔn)備著為科學(xué)的發(fā)展而努力讀書。

二、數(shù)學(xué)史能使學(xué)生對引入數(shù)學(xué)問題、概念、理論和方法的動機(jī)與產(chǎn)生的后果有所了解

提到這一點我們不妨來看一下非歐幾何的發(fā)現(xiàn)過程。非歐幾何的開山祖師有三人：高斯、Lobatchevsky（羅巴切烏斯基，1793～1856）、Bolyai（波埃伊，1802～1860）。十八世紀(jì)時，大部分人都認(rèn)為歐幾里得幾何是物質(zhì)空間中圖形性質(zhì)的正確理想化。特別是康德認(rèn)為關(guān)于空間的原理是先驗綜合判斷，物質(zhì)世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

既然是完美的，大家希望公理、公設(shè)簡單明白、直截了當(dāng)。其它的公理和公設(shè)都滿足了上面的這個條件，唯獨(dú)平行公設(shè)不夠簡明，像是一條定理。

歐幾里得的平行公設(shè)是：每當(dāng)一條直線與另外兩條直線相交，在它一側(cè)做成的兩個同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角的那一側(cè)相交。即：過兩點有且只有一條直線與已知直線平行。

在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設(shè)，這很自然引起人們考慮：這條啰里啰唆的公設(shè)是否可由其它的公理和公設(shè)推出，也就是說，平行公理可能是多余的。

之后的兩千多年，許許多多的人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經(jīng)過仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)：所有的證明都使用了一些其它的假設(shè)，而這些假設(shè)又可以從平行公設(shè)推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設(shè)等價的命題罷了。

到了十八世紀(jì)，有人開始想用反證法來證明，即假設(shè)平行公設(shè)不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠(yuǎn)點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結(jié)論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導(dǎo)出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設(shè)。

從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。這主要是羅巴切夫斯基的開創(chuàng)性工作。要認(rèn)識到歐幾里得幾何不一定是物質(zhì)空間的幾何學(xué)，歐幾里得幾何學(xué)只是許多可能的幾何學(xué)中的一種。而幾何學(xué)要從由直覺、經(jīng)驗來檢驗的空間科學(xué)要變成一門純粹數(shù)學(xué)，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。應(yīng)該指出，非歐幾何為廣大數(shù)學(xué)界接受還是經(jīng)過幾番艱苦斗爭的。首先要證明第五公設(shè)的否定并不會導(dǎo)致矛盾，只有這樣才能說新幾何學(xué)成立，才能說明第五公設(shè)獨(dú)立于別的公理公設(shè)，這是一個起碼的要求。

當(dāng)時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當(dāng)時大家都承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)沒有矛盾，如果能把非歐幾何學(xué)用歐幾里得幾何學(xué)來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學(xué)中相應(yīng)的東西，公理和定理也可用相應(yīng)歐幾里得幾何學(xué)的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學(xué)的歐氏模型。

對于羅巴切夫斯基幾何學(xué)，最著名的歐氏模型有意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米于1869年提出的常負(fù)曲率曲面模型，德國數(shù)學(xué)家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數(shù)解釋的單位元圓內(nèi)部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創(chuàng)立的橢圓幾何學(xué)，另外還可以推廣到高維空間上。

因此，從十九世紀(jì)六十年代末到八十年代初，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了非歐幾何學(xué)。盡管有的人還堅持歐幾里得幾何學(xué)的獨(dú)特性，但是許多人明確指出非歐幾何學(xué)和歐氏幾何學(xué)平起平坐的時代已經(jīng)到來。當(dāng)然也有少數(shù)頑固派，如數(shù)理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認(rèn)非歐幾何學(xué)，不過這已無關(guān)大局了。

應(yīng)當(dāng)指出，Bolyai的父親是高斯大學(xué)的同學(xué)，Bolyai沉溺于平行公理，最后與羅巴切夫斯基同時發(fā)展出了非歐幾何，并且在1832～1833年發(fā)表了研究結(jié)果，老Bolyai把兒子的成果寄給老同學(xué)高斯，想不到高斯卻回信道：“to praise it would mean to praise myself.（我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。）”早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。

非歐幾何學(xué)的創(chuàng)建對數(shù)學(xué)的震動很大。數(shù)學(xué)家開始關(guān)心幾何學(xué)的基礎(chǔ)問題，從十九世紀(jì)八十年代起，幾何學(xué)的公理化成為大家關(guān)注的目標(biāo)，并由此產(chǎn)生了希爾伯特的新公理化運(yùn)動。

三、數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)知識給出了一個整體框架，能使學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個整體的認(rèn)識

數(shù)學(xué)是一個龐大的領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)王國中旅游，數(shù)學(xué)史是一個最好的導(dǎo)游。就拿我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號系統(tǒng)——阿拉伯?dāng)?shù)系來說，它的全稱是印度-阿拉伯?dāng)?shù)系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因為它可能是印度人發(fā)明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。數(shù)系擴(kuò)充順序為：

（自然數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→）實數(shù)→復(fù)數(shù)

數(shù)學(xué)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)的工具。人們要弄清數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展過程，增長對數(shù)學(xué)的通識，建立數(shù)學(xué)的整體意識，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)史作為補(bǔ)充和指導(dǎo)。特別是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系猶如一棵枝葉繁多的大樹，站在樹下，人無法分清楚其中一片樹葉到底屬于哪一個枝丫，而數(shù)學(xué)史就像是這棵大樹的脈絡(luò)，它的作用就是指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪和明鑒。

四、通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史還可以端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，使學(xué)生對數(shù)學(xué)靈感的產(chǎn)生有所了解

柴可夫斯基說：“靈感是這樣一位客人，他不愛拜訪懶惰者?！膘`感作為創(chuàng)造過程中思維活動的高潮，產(chǎn)生于長期艱苦的腦力勞動之后，是辛勤勞動的結(jié)晶，是長期艱苦努力和創(chuàng)造性思維的結(jié)果。如四元數(shù)的創(chuàng)始人，三維數(shù)與高維數(shù)耗費(fèi)了他十年的時光。1843年10月16日，當(dāng)他同妻子沿著皇宮邊的護(hù)城河散步時，突然有了靈感：把二維復(fù)數(shù)擴(kuò)展到四維而不是三維，并放棄了乘法交換律，四維數(shù)表示成z=a+ib+jc+kd，其中i =j =k =ijk=-1。再有笛卡爾發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)系；阿基米德是在大量計算和實驗而不得其解之后，才受到“浴缸溢水”啟示；牛頓也是在冥思苦想和大量觀察的基礎(chǔ)上才被“蘋果落地”的現(xiàn)象啟發(fā)。所以靈感是在大量的創(chuàng)造性勞動之后的一種思維能力的飛躍現(xiàn)象，也是人對某一問題的思考由量變到質(zhì)變轉(zhuǎn)化的結(jié)果。沒有大量的積累，就不可能有質(zhì)的轉(zhuǎn)變。我們平時所從事的各種各樣的思考活動都是為靈感的出現(xiàn)積累能量。僅憑僥幸，是永遠(yuǎn)也得不到靈感光顧的。

以上是我對數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用的一些看法。要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用，還應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程過程中自覺滲透歷史發(fā)展的觀點，使學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，看清知識成果中的思想和方法。另外，還應(yīng)該向?qū)W生推薦一些適合的數(shù)學(xué)史書籍供其閱讀，這樣不僅可以增強(qiáng)其對數(shù)學(xué)的興趣和理解，同時也可以通過數(shù)學(xué)家們的榜樣示范作用對學(xué)生進(jìn)行教育。

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