幫你學好向量組的線性相關性

摘要：向量組的線性相關性分三種關系：一個向量與一組向量的線性關系；一向量組內各向量之間的線性關系；兩個（或多個）向量組之間的相互關系。以向量組的等價性理論為依據，線性方程組的求解實現了用有限個解（向量）表達無窮多解（向量）的目的。

關鍵詞：線性組合 線性相關 等價向量組

向量組的線性相關性是《線性代數》中重點學習內容之一。該部分知識既有相對獨立的理論價值，又有實際應用價值。由于這部分知識點既密集又量大，還與矩陣知識相互交錯，易使我們在學習的過程中“消化不良”。下面設法“消化”這部分知識。

向量組的線性相關性可以分三種關系：一個向量與一組向量的線性關系；一向量組內各個向量之間的線性關系；兩個（或多個）向量組之間的關系。

一、描述一個向量與一組向量之間線性關系的概念——“線性組合”

（一）線性組合的定義

二、描述向量組內各個向量之間線性關系的概念——線性相關

（一）線性相關的定義

一組向量之間不是線性相關，就是線性無關。

（二）基本結論

1. 只有一個向量α的向量組線性相關的充要條件是α=0；

3. 含有零向量的向量組必線性相關；

4. 若向量組內一個部分組線性相關，則整個向量組線性相關。等價命題：若整個向量組線性無關，則向量組內任一部分組線性無關；

5. 當向量組中向量的個數大于向量的維數時，向量組必線性相關。

（三）線性相關與線性組合關系的定理及推論

線性表示，且表達式唯一。

（四）學習基本要求

會判定或證明向量組的線性相關性。

例2判以下各向量組是否線性相關：

三、描述兩個（或多個）向量組之間關系的概念——向量組的等價

(一)向量組等價的定義

設兩個向量組

若向量組（Ⅰ）中的每一個向量都能由向量組（Ⅱ）中的向量線性表示，則稱向量組（Ⅰ）能由向量組（Ⅱ）線性表示。若向量組（Ⅰ）與向量組（Ⅱ）能互相表示，則稱這兩個向量組等價。

（二）等價向量組的性質和定理

3. 推論 兩個等價的線性無關組含有相同個數的向量。

（三）等價向量組的后續知識概述

基于等價向量組的概念，我們進一步給出了最大線性無關組、向量組的秩及向量空間的基等一連串后續概念，再以此為依據，實現了求解線性方程組用有限個解表達無窮多解的目的。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”