幫你學好向量組的線性相關(guān)性

摘要：向量組的線性相關(guān)性分三種關(guān)系：一個向量與一組向量的線性關(guān)系；一向量組內(nèi)各向量之間的線性關(guān)系；兩個（或多個）向量組之間的相互關(guān)系。以向量組的等價性理論為依據(jù)，線性方程組的求解實現(xiàn)了用有限個解（向量）表達無窮多解（向量）的目的。

關(guān)鍵詞：線性組合 線性相關(guān) 等價向量組

向量組的線性相關(guān)性是《線性代數(shù)》中重點學習內(nèi)容之一。該部分知識既有相對獨立的理論價值，又有實際應用價值。由于這部分知識點既密集又量大，還與矩陣知識相互交錯，易使我們在學習的過程中“消化不良”。下面設法“消化”這部分知識。

向量組的線性相關(guān)性可以分三種關(guān)系：一個向量與一組向量的線性關(guān)系；一向量組內(nèi)各個向量之間的線性關(guān)系；兩個（或多個）向量組之間的關(guān)系。

一、描述一個向量與一組向量之間線性關(guān)系的概念——“線性組合”

（一）線性組合的定義

二、描述向量組內(nèi)各個向量之間線性關(guān)系的概念——線性相關(guān)

（一）線性相關(guān)的定義

一組向量之間不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)。

（二）基本結(jié)論

1. 只有一個向量α的向量組線性相關(guān)的充要條件是α=0；

3. 含有零向量的向量組必線性相關(guān)；

4. 若向量組內(nèi)一個部分組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)。等價命題：若整個向量組線性無關(guān)，則向量組內(nèi)任一部分組線性無關(guān)；

5. 當向量組中向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)。

（三）線性相關(guān)與線性組合關(guān)系的定理及推論

線性表示，且表達式唯一。

（四）學習基本要求

會判定或證明向量組的線性相關(guān)性。

例2判以下各向量組是否線性相關(guān)：

三、描述兩個（或多個）向量組之間關(guān)系的概念——向量組的等價

(一)向量組等價的定義

設兩個向量組

若向量組（Ⅰ）中的每一個向量都能由向量組（Ⅱ）中的向量線性表示，則稱向量組（Ⅰ）能由向量組（Ⅱ）線性表示。若向量組（Ⅰ）與向量組（Ⅱ）能互相表示，則稱這兩個向量組等價。

（二）等價向量組的性質(zhì)和定理

3. 推論 兩個等價的線性無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量。

（三）等價向量組的后續(xù)知識概述

基于等價向量組的概念，我們進一步給出了最大線性無關(guān)組、向量組的秩及向量空間的基等一連串后續(xù)概念，再以此為依據(jù)，實現(xiàn)了求解線性方程組用有限個解表達無窮多解的目的。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”