從課本習題引發的造橋選址問題

九年義務教材七年級下冊P31中習題：如圖（1），A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）

解析：此題實是利用平移將問題轉化為如圖（2）的簡單問題：“在河a（直線）兩側有點A、B，在河上架設一橋C，使AC+BC最短?！奔丛趫D（3）中將點B向上平移河的寬度至B ，此時有寬度的河變成了一條直線，連接AB ，交河上沿于點C，將C往下平移至河下沿于點D，則CD為所求的橋的位置。若在河的其他位置造橋如EF，易知四邊形CDBB 、EFBB 均為平行四邊形，FB=EB ，DB=CB ，顯然AE+EB ＞AB 即AC+CD+DB＜AE+EF+FB。

體會：通過平移將有寬度的河面轉化為一直線，這樣在河上造橋問題也就轉化為在直線上找點的問題了，（也可將河的上沿往下平移，即將點A往下平移河的寬度）由“兩點之間線段最短”可知兩直線的交點就是該點的位置。

由此題引發如下三個問題：

問題1、如圖（4）在AB之間有兩條河，則兩條河上的橋分別建在何處才使A到B的路程長最短？

解析：由原題的轉化特點進行類比聯想：設法將兩條河都轉化為沒有寬度的的直線，即將A向下平移河1的寬度至A ，將B向上平移河2的寬度至B ，連接A B ，交河1下沿于C，交河2上沿于E，再作CD垂直河1上沿于D，作EF垂直河2下沿于F，CD、EF便是所求的兩座橋。

問題2、若一“L”字形的河，如圖（5），河左側有一村莊A，河下側有一村莊B，在河面上建兩座橋，使從A經過橋1，再經過I區，再由橋2到B處，使此路程長最短。

解析：關鍵仍然是將有寬度的河轉化為沒有寬度的線，即將A點向右平移河的寬度至A ，將B點向上平移河的寬度至B ，連接A B ，交CD于M，交DH于L，將M向左平移至N，將L向下平移至K，則線段MN、LK為所求的橋。

問題3、河岸l同側的兩個居民小區A、B到河岸的離分別為a米、b米(即圖(6)中所示AA′=a米，BB′=b米)，A′B′=c米?，F欲在河岸邊建一個長度為s米的綠化帶CD（寬度不計），使C到小區A的距離與D到小區B的距離之和最小。(1)在圖中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；(2)求AC+BD的最小值。

解析：由此題容易聯想熟知的“將軍飲馬問題”，也就是，如圖（7）在DE上找點F，使AF+BF最小。通過作A關于DE的對稱點C，從而將問題轉化為在“DE上找一點F，使它到DE異側的B、C距離和最小”。顯然點F為BC與DE交點。但是此題卻要找兩個點C、D，且CD=s，使AC+BD最小。由上述平移問題可知：將B點向左水平移動S距離至B′如圖（8），這樣問題就轉化為圖（7）的“將軍飲馬”問題了，按照圖（7）中的作法，首先找到點C，再向右移動s距離找到點D，連接AC、BD，這樣便滿足AC+BD最小，即為 （證明略），這樣，“在L上找線段CD”問題即轉化為在L上找一個點的問題。

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