圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦方程和中點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

關(guān)　忠

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，M(x0,y0)是AB的中點(diǎn)，則有x1+x2=2x0 ①

y1+y2=2y0 ②

x21a2+y21b2=1 ③

x22a2+y22b2=1 ④由③-④得

x21-x22a2+y21-y22b2=0，即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,①，②代入得x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0⑤

即x0a2+y0b2?y1-y2x1-x2=0(x1≠x2) ⑥

⑥就是過(guò)AB的中點(diǎn)弦方程.

再由①、②代入⑤消去x2,y2得x0(x1-x0)a2+y0(y1-y0)b2=0,即弦AB的端點(diǎn)A、B和中點(diǎn)M都滿(mǎn)足直線(xiàn)方程x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0.

同樣的方法可得雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)弦AB的端點(diǎn)A、B和中點(diǎn)M都滿(mǎn)足的直線(xiàn)方程.

一般地，設(shè)M(x0,y0)是圓錐曲線(xiàn)的弦AB的中點(diǎn)，則橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中點(diǎn)弦方程為x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0,化為點(diǎn)斜式就是y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；

雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的中點(diǎn)弦方程為x0(x-x0)a2-y0(y-y0)b2=0,化為點(diǎn)斜式就是y-y0=b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；

拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的中點(diǎn)弦方程為﹜0(y-y0)=p(x-x0)，化為點(diǎn)斜式就是

y-y0=py0(x-x0)(y0≠0).

上面中點(diǎn)弦方程記住后可直接使用，也可按下面方式直接得到：把圓錐曲線(xiàn)方程中常數(shù)項(xiàng)換為0,x2,y2分別換為2x0(x-x0),2y0(y-y0);x,y分別換為x-x0,y-y0.

圓錐曲線(xiàn)中點(diǎn)弦方程在解中心對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)以及中點(diǎn)問(wèn)題中有奇效.下面用圓錐曲線(xiàn)中點(diǎn)弦方程推導(dǎo)用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示的弦長(zhǎng)公式(本文僅給出橢圓中點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)讀者可仿此相應(yīng)給出).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”