與圓錐曲線的切點弦相關(guān)的性質(zhì)

張功萍

過一點作圓錐曲線的兩條切線，切點間的連線段稱為切點弦.

2005、2008年江西省高考解析幾何試題都涉及到切點弦，筆者對圓錐曲線的切點弦作了以下探究.

一、切點弦所在直線的方程

關(guān)于二次曲線的切線，有以下結(jié)論

引理 過二次曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全為零)上一點(x0,y0)的切線，只要把曲線方程中x2,y2,x,y分別替換成x0x,y0y,x0+x2,y0+y2得到的就是切線的方程.

定理1 過二次曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全為零)外一點(x0,y0)作它的兩條切線，則切點弦所在直線方程是ax0x+by0y+c?x0+x2+d?y0+y2+e=0.

證明：設(shè)兩切點為(x1,y1),(x2,y2)，則兩切線方程是ax璱x+by璱y+c?x璱+x2+d?y璱+y2+e=0(i=1,2),兩切線過點(x0,y0)，有ax璱x0+by璱y0+c?x璱+x02+d?y 璱+y02+e=0(i=1,2),得點(x1,y1),(x2,y2)均在直線ax0x+by0y+c?x0+x2+e=0上，所以切點弦的方程是ax0x+by0y+c?x0+x2+d?y0+y2+e=0.

利用該定理結(jié)論，對于求解08年江西高考解析幾何題第(2)問，則異常簡單，在該試題中，a =1,b=-1,c=d=0,e=-1，即過AB的切點弦方程為x0x-y0y-1=0.∵P(x0,y0)在x=m上，則mx-y0y-1=0(*),顯見M(1m,0)滿足方程(*)，∴A、M、B三點共線.

二、切點弦所在直線的性質(zhì)

定理2 過橢圓x2a2+y2b2=1外一點(x1,y1)作它的兩條切線，切點弦所在直線分別與x軸、y軸交于點(x2,0)和(0,y2)，則x1x2=a2,y1y2=b2.

證明：由定理1知，切點弦所在直線方程是x1xa2+y1yb2=1，因點(x2,0)和(0,y2)在切點弦所在直線上，所以x1x2a2=1,y1y2b2=1，得x1x2=a2,y1y2=b2.

推論 動點P在直線x=m(或y=m)上移動，過P作橢圓x2a2+y2b2=1的兩條切線，則切點弦所在直線經(jīng)過定點(a2m,0)或(0,-b2m).

同理可得

定理3 過雙曲線x2a2-y2b2=1外一點(x1,y1)作它的兩條切線，切點弦所在直線分別與x軸、y軸交于點(x2,0)和(0,y2)，則x1x2=a2,y1y2=-b2.

推論 動點P在直線x=m(或y=m)上移動，過P作雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條切線，則切點弦所在直線經(jīng)過定點(a2m,0)或(0,-b2m).

定理4 過拋物線y2=2px外一點(x1,y1)作它的兩條切線，切點弦所在直線與x軸交于點(x2,0),則x1+x2=0.

推論 動點P在直線x=m上移動，過P作拋物線y2=2px的兩條切線，則切點弦所在直線經(jīng)過定點(-m,0).

特別地，過圓錐曲線準線上的點作它的兩條切線，則切點弦所在直線經(jīng)過相應的焦點.

三、定點弦端點切線交點的軌跡

定理5 橢圓x2a2+y2b2=1的弦AB所在直線過x軸上定點M(m,0)，(或y軸上定點N(0，m))，則橢圓在點A、B處的切線交點軌跡是定直線x=a2m(或y=b2m)(在橢圓外部分).

證明：令A(u1,v1),B(u2,v2)，由定理1，知切線方程是u1xa2+v1yb2=1①，u2xa2+v2yb2=1②，①×v2-②×v1得x=a2(v2-v1)u1v2-u2v1,又A(u1,v1),M(m,0),B(u2,v2)三點共線，有v1u1-m=v2u2-m,得v2-v1u1v2-u2v1=1m，所以x=a2m.

同理可得

定理6 雙曲線x2a2-y2b2=1的弦AB所在直線過x軸上定點(m,0)，(或y軸上定點(0，m)),則雙曲線在點A、B處的切線交點軌跡是定直線x=a2m(或y=-b2m)(在雙曲線外部分).

定理7 拋物線y2=2px的弦AB所在直線過x軸上定點(m,0)，則拋物線在點A、B處的切線交點軌跡是定直線x=-m(在拋物線外部分).

特別地，圓錐曲線的焦點弦端點處切線交點軌跡是相應的準線.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”