對積分中值定理的推廣與應(yīng)用

摘要： 文章對積分中值定理進(jìn)行了討論與推廣，得到了四個推論，并且對給出的積分中值定理進(jìn)行了一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 微分中值定理 積分中值定理 推論 證明

積分中值定理是定積分的一個重要性質(zhì)，它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關(guān)系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究積分的性質(zhì)，有較高的理論價(jià)值和廣泛的應(yīng)用性。

一、積分中值定理的內(nèi)容

積分中值定理在數(shù)學(xué)分析教材及其它數(shù)學(xué)教材中是這樣敘述的：

定理1（積分中值定理）：若f(x)在［a，b］上連續(xù)，則在［a，b］上至少存在一點(diǎn)ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a≤ξ≤b。 （1）

對于上述定理，可以將ξ的取值范圍由閉區(qū)間［a，b］減弱到開區(qū)間(a，b)。

定理1′ （積分中值定理）：若f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a＜ξ＜b。 （2）

證明：利用拉格朗日微分中值定理來證明。

設(shè)Φ(x)=?蘩 f(t)dt

因?yàn)閒(x)在［a，b]上連續(xù)，所以Φ(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且Φ′ (x)=f(x)。

對Φ(x)應(yīng)用拉格朗日微分中值定理可得：

在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

Φ(b)-Φ(a)=Φ′(ξ)(b-a)

即?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a＜ξ＜b。

對于積分中值定理還可以得到下面的一些結(jié)論。

推論1：若f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且?蘩 f(x)dx=0，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。

證明：因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，由積分中值定理知：

在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得

二、定理的應(yīng)用

例1.設(shè)函數(shù)f(x)在［０，１］上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且3?蘩 f(x)dx=f(0)，

求證：在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)=0。

證明：由積分中值定理得：

因此，f(0)=f(η)

由于函數(shù)f(x)在［0，η］上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，

所以，在開區(qū)間(0，η)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)=0。

∴η∈( ，1)

因此，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)=0。

例2.若f(x)在閉區(qū)間［0，b］上連續(xù)、非負(fù)、嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，

參考文獻(xiàn)：

［1］華東師師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2004.21，46.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)(上冊).第五版［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［3］高等數(shù)學(xué)(第一冊).第1版，蘇州大學(xué)出版社，2003年12月.

［4］寧存法，陳丫丫.關(guān)于積分中值定理的注記.太原大學(xué)教育學(xué)院學(xué)報(bào)增刊，2007年6月.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”