關于一道數學競賽題的解法探討

摘要： 本文對江蘇省普通高等學校第六屆高等數學競賽中一道試題的解法進行了探討，分析了原有解法的不足，并且給出了另一種解法。

關鍵詞： 積分中值定理 改進的積分中值定理 微分中值定理

一、素材

由東南大學出版社于2008年年初出版的《高等數學競賽題解析》［１］對江蘇省普通高校非理科專業第六屆（2002年）高等數學競賽試題的第三大題給出了兩種不同的解法，筆者對其中的方法1持有一些看法，并對此進行了探討。現將該試題及解題方法1摘錄如下：

設f(x)在［a，b］上連續，?蘩 f(x)dx=?蘩 f(x)edx=0，求證：f(x)在(a，b)內至少有兩個零點［１］。

解析:(方法1)令F(x)=?蘩 f(t)dt(a≤x≤b)，則F(a)=F(b)=0，

且F′(x)=f(x)。

應用分部積分和積分中值定理，有

?蘩 f(x)edx=?蘩 edF(x)=eF(x)｜-?蘩 F(x)edx=0-F(c)e(b-a)……(*)

這里c∈(a，b)，于是F(c)=0。

分別在［a，c］，［c，b］上應用羅爾定理得：?堝ξ ∈(a，c)，?堝ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。

即f(ξ )=f(ξ )=0。

于是，f(x)在(a，b)內至少有兩個零點。

二、評析

上面的證法并無不當，只是在文字敘述“應用分部積分和積分中值定理”上略欠妥。

眾所周知，積分中值定理［2］［3］［4］的表達形式如下：

設f(x)在［a，b］上連續，則在積分區間［a，b］上至少存在一點ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)(a≤ξ≤b)。

由此可見，在以上的（*）式中，根據積分中值定理無法得到F（c）=0，c∈(a，b)。而使用改進的積分中值定理可以實現這一目的。改進的積分中值定理［2］如下：

設f(x)在［a，b］上連續，則在開區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a) (a＜ξ＜b)。

于是，根據改進的積分中值定理，由以上的(*)式，可以得到F(c)=0，c∈(a，b)。也就是說，如果將文字敘述“應用分部積分和積分中值定理”改述為“應用分部積分和改進的積分中值定理”后，例題的解法（1）是正確的。

三、試題的新證法

除了文獻［１］所提供的兩種證法以外，我們也可以考慮用微分中值定理來證明本題，而且證明的過程簡潔明分別在［a，c］，［c，b］上應用羅爾定理得：?堝ξ ∈(a，c)，?堝ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。

即f(ξ )=f(ξ )=0。

于是，f(x)在(a，b)內至少有兩個零點。

參考文獻：

［1］陳仲.高等數學競賽題解析［M］.東南大學出版社，2008.

［2］同濟大學應用數學系.高等數學(第五版)［M］.高等教育出版社，2002.

［3］吳建成.高等數學［M］.高等教育出版社，2005.

［4］王綿森馬知恩.工科數學分析基礎［M］.高等教育出版社，1998.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”