關(guān)于一道數(shù)學(xué)競賽題的解法探討

摘要： 本文對江蘇省普通高等學(xué)校第六屆高等數(shù)學(xué)競賽中一道試題的解法進(jìn)行了探討，分析了原有解法的不足，并且給出了另一種解法。

關(guān)鍵詞： 積分中值定理 改進(jìn)的積分中值定理 微分中值定理

一、素材

由東南大學(xué)出版社于2008年年初出版的《高等數(shù)學(xué)競賽題解析》［１］對江蘇省普通高校非理科專業(yè)第六屆（2002年）高等數(shù)學(xué)競賽試題的第三大題給出了兩種不同的解法，筆者對其中的方法1持有一些看法，并對此進(jìn)行了探討。現(xiàn)將該試題及解題方法1摘錄如下：

設(shè)f(x)在［a，b］上連續(xù)，?蘩 f(x)dx=?蘩 f(x)edx=0，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)［１］。

解析:(方法1)令F(x)=?蘩 f(t)dt(a≤x≤b)，則F(a)=F(b)=0，

且F′(x)=f(x)。

應(yīng)用分部積分和積分中值定理，有

?蘩 f(x)edx=?蘩 edF(x)=eF(x)｜-?蘩 F(x)edx=0-F(c)e(b-a)……(*)

這里c∈(a，b)，于是F(c)=0。

分別在［a，c］，［c，b］上應(yīng)用羅爾定理得：?堝ξ ∈(a，c)，?堝ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。

即f(ξ )=f(ξ )=0。

于是，f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

二、評析

上面的證法并無不當(dāng)，只是在文字?jǐn)⑹觥皯?yīng)用分部積分和積分中值定理”上略欠妥。

眾所周知，積分中值定理［2］［3］［4］的表達(dá)形式如下：

設(shè)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則在積分區(qū)間［a，b］上至少存在一點(diǎn)ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)(a≤ξ≤b)。

由此可見，在以上的（*）式中，根據(jù)積分中值定理無法得到F（c）=0，c∈(a，b)。而使用改進(jìn)的積分中值定理可以實(shí)現(xiàn)這一目的。改進(jìn)的積分中值定理［2］如下：

設(shè)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a) (a＜ξ＜b)。

于是，根據(jù)改進(jìn)的積分中值定理，由以上的(*)式，可以得到F(c)=0，c∈(a，b)。也就是說，如果將文字?jǐn)⑹觥皯?yīng)用分部積分和積分中值定理”改述為“應(yīng)用分部積分和改進(jìn)的積分中值定理”后，例題的解法（1）是正確的。

三、試題的新證法

除了文獻(xiàn)［１］所提供的兩種證法以外，我們也可以考慮用微分中值定理來證明本題，而且證明的過程簡潔明分別在［a，c］，［c，b］上應(yīng)用羅爾定理得：?堝ξ ∈(a，c)，?堝ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。

即f(ξ )=f(ξ )=0。

于是，f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳仲.高等數(shù)學(xué)競賽題解析［M］.東南大學(xué)出版社，2008.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第五版)［M］.高等教育出版社，2002.

［3］吳建成.高等數(shù)學(xué)［M］.高等教育出版社，2005.

［4］王綿森馬知恩.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)［M］.高等教育出版社，1998.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”