運用構造法解析幾種常見類型的函數問題

摘要： 高職數學中函數問題的解答是非常普遍的，而對于函數問題也往往是學生感到頭疼的，特別是對那些抽象的函數問題，學生經常是一籌莫展。如何找到解決函數問題的有效方法，使學生擺脫困境，是我們數學教師應該認真研究的課題。本文主要探討運用構造法解析幾種常見類型的函數問題。

關鍵詞： 構造法 解析 函數問題

我們知道函數主要是反映變量之間的關系，高等數學中的函數問題由于其解析式抽象、復雜，有的無法直觀地通過圖像或借鑒熟悉的函數性質解決，給學生解決問題帶來了困擾。筆者通過多年的教學摸索，發現用構造法研究函數的解是解決許多實際問題有效的方法。本文試圖通過常見幾種類型函數問題的探討，尋求解答函數問題的思路和思想方法。

一、巧用抽象函數關系式構造熟悉函數并解決問題

有的函數問題沒有具體的函數關系式，只是一些抽象的函數式，而往往要求研究該函數的有關性質。

例1：已知函數f（x）的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2，則f（x）在［-3，3］上的最大值為_______，最小值為_______。

解析：構造函數f（x）=kx，由已知條件知k=-2。數形結合得最值。

類似題：已知函數f（x）的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1003）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2005）=2006。

解析：構造函數f（x）= x。

例2：設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f（ ）=f（x）-f（y），若f（2）=1，則f（4）=2。

解析：構造函數f（x）=log x，則f（4）=log 4=2。

類似題：已知定義域為R的函數f（x）對任意的實數x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=1，f（ ）=0。給出下列結論：①f（ ）= ；②f（x）為奇函數；③f（x）為周期函數；④f（x）在（0，π）內為單調函數。其中正確的結論是③④。（填上所有正確結論的序號）

解析：構造函數f（x）=cosx。

上面的函數只是題設函數的特殊情況，用以推測題設函數的性質，具體問題還要用一般方法解決（如賦值法、抽象函數關系式變式反復使用等解題技巧）。

二、利用換元后轉化為熟悉函數解決問題

許多問題所給函數解析式是一種復合函數，可以通過換元，利用內、外函數的復合轉化為熟悉的函數解決問題。（復合函數單調性法則是“同增異減”，即內、外函數單調性相同，復合函數為增函數，否則為減函數。）

例3：已知向量 =（ ，-1）， =（ ， ）。

（1）若存在不為0的實數k和角α，α∈（- ， ），使 = =+（tan α-3） ， =-k +（tanα） 且 ⊥ ，試求函數關系式k=f（α）；

（2）對（1）中的k=f（α），求k=f（α），α∈（- ， ）的極值。

解析：（1）k= tan α- tanα。

（2）換元，令x=tanα，構造函數k= x - x（x∈R），利用導數求得x=1，即α= 時k的極小值為- ；x=-1，即α=- 時k的極大值為 。

三、引進恰當的變量構建函數解決問題，特別是實際問題

客觀世界從某種意義上講是變量的世界，許多實際問題可以通過收集與分解數據、引進變量、構造合理的函數關系式、研究構造的函數關系式等方法來解決。

例4：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點Ｏ到底面中心Ｏ的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解析：設OO 為xm，則1＜x＜4。

由題設可得正六棱錐底面邊長為 = ，（單位：m）

故底面正六邊形的面積為6#8226; #8226;（ ） = #8226;（8+2x-x ），（單位：m ）

帳篷的體積為V= #8226;（8+2x-x ）#8226;［ （x-1）+1］= #8226;（16+12x-x ）。（單位：m ）利用導數知識知，當x=2時，V（x）最大為16 m 。

四、利用題設條件巧妙構造熟悉性質的函數，解決問題

許多問題所給函數關系式復雜，就其本身很難研究。但只要合理變形，就能構造新的我們熟悉的函數，利用它們的性質研究所給函數的性質方便、快捷。

例5：如果（1+sin θ）sinθ＞（1+cos θ）cosθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范圍是___ __。

解析：構造函數f（x）=（1+x）x=x+x，則f′（x）=5x+1＞0，f（x）為R上的增函數。故由題知sinθ＞cosθ，而θ∈（0，2π），所以θ∈（ ， ）。

類似題：使（log 3） -（log 3） ≥（log 3） -（log 3） ，則x，y的大小關系是__ _____。

解析：構造函數f（x）=（log 3） -（log 3） ，由于y =（log 3） 為增函數，y =（log 3） 為減函數，故f（x）為增函數，由題知f（x）≥f（y），知x≥y。

例6：已知函數f（x）=lnx，g（x）=x。當x＞1時，求證：f（x）＞2g（ ）。

解析：構造函數h（x）=f（x）-2g（ ），利用導數知h（x）在（1，+∞）是增函數，故h（x）＞h（1），得證。

其實，構造熟悉的函數解決問題，實質依然是轉化思想，即化未知函數為熟悉函數，利用熟悉函數的圖像和性質解決問題。已有的知識經驗是解決未知問題的鑰匙，只有熟練掌握常見函數的圖像和性質，理解函數的基礎知識，勤于思考，善于總結，勇于探索，才能找到解決問題的途徑，到達成功的彼岸。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”