數學思維訓練的“四步驟”

胡曉紅

〔關鍵詞〕 數學教學 ；思維訓練；啟動；發展；高潮；

強化

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2009）03（B）—0064—01

實踐表明，在數學教學中，學生思維的發展、動機的形成、知識的獲得、智能的提高都離不開一定的思維情境。因此，教師在傳授數學知識的過程中，要精心創設思維情境，激發學生數學思維的積極性，進而培養學生的思維能力。下面，筆者以人教版高一數學（上冊）“等比數列”這節課的教學為例，來說明學生思維訓練的過程。

第一步：思維的啟動

教師在創設情境時應遵循兩個原則：一是選好問題的切入角度，使所設置的問題具有設疑和激趣的作用；二是所提出的問題要切合實際，如果提出的問題不切合學生的實際，學生就會出現“不要聽”或“聽不懂”的現象。

在教學“等比數列”時，我先給學生講了一個故事：從前有一個財主，為人刻薄吝嗇，常常克扣工人的工錢，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，這個財主家來了一位年輕人，要求打工一個月，同時講了打工的報酬：一天一分錢，兩天兩分錢，三天四分錢……以后每增加一天工錢數翻一倍，直到三十一天期滿。這個財主聽了，心想這工錢也真便宜，就馬上與這個年輕人簽訂了合同。可是一個月后，這個財主卻破產了，因為他付不了那么多的工錢。然后提出問題：這工錢到底有多少呢？由于問題富有趣味性，學生們頓時活躍起來，紛紛進行猜測。這時，我及時點題：這就是我們今天要研究的課題——等比數列，并且告訴學生，通過計算可得出這個財主應付給打工者的工錢為2³⁰（分），即1073741824分≈1073（萬元）。學生聽到這個數字后，感到非常地驚訝。這樣巧設懸念，使學生一開始就對問題產生了濃厚的興趣，思維被迅速啟動，為發現新問題、解決新問題創造了理想的心理情境。

第二步：思維的發展

數學思維訓練一定要發揮學生的主動性。教師對學生提出思維要求時，應留有一定的空間，讓學生獨立思考，而不應在學生還沒有展開觀察、分析之前，就急于將結論、定義和定理等強加給學生。這樣，學生在自主活動中才能取得令人滿意的效果。

在學生對“等比數列”產生了濃厚的興趣后，我開始講解“等比數列的通項公式”，并列舉了這樣一個現實的問題：某人從銀行貸款10000元人民幣，年利率為r，若此人一年后還款，兩年后還款，三年后還款……還款數額依次滿足什么規律？然后給出一定時間讓學生自主探究。學生經過探究得出：1年后應還款 10000（1+r）元， 2年后應還款10000（1+r）²元，3年后應還款10000（1+r）³元……我又引導學生從中尋找規律，進而得知n年后應還款10000（1+r）ⁿ元。這里，教師應該起“引”和“導”的作用，讓學生在充分擁有“自由”的前提下，由淺入深、由表及里地自主探索，自己體會知識的“發生”過程。隨著問題一個個地被解決，學生的思維也就會步步深入，得到充分的訓練和發展。

第三步：思維的高潮

為了使學生達到思維的高潮，教師可不按常規地對學生進行啟發、誘導和提問，在順利解決學生普遍存在問題的基礎上，更大程度地提高學生的發散性思維能力、綜合分析能力、邏輯推理能力和歸納整理能力。這樣，必然會進一步拓寬學生思維的空間。

在第二步的基礎上，我引導學生由定義：a₂=a₁q，a₃=a₂q=a₁q²，a₄=a₃q=a₁q³……出發，歸納得到等比數列的通項公式為：a_n=a₁q^n-1（n∈N*）。這個過程需要各種思維活動，不僅在定向思維上需要嚴密性、邏輯性、科學性，更需要不按常規的、敢于出奇制勝的創新思維活動。

第四步：思維的強化

為了強化學生思維，可通過典型例題的解題教學和訓練，尤其是一題多解、一題多變、一題多用等變式訓練，使學生達到鞏固與深化所學知識，提高解題技巧及分析和解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性和獨創性的目的。

于是，為了區分等差數列的公差和等比數列的公比，我要求學生回答下面的問題：①公比q能為0嗎？為什么？等比數列的首項能為0嗎？②公比q=1的數列是什么數列？③q＞0時，等比數列是遞增的嗎？q＜0時，等比數列是遞減的嗎？學生通過對上述問題的探究會發現，公比q不能取0，但能取1，所以在不為具體數字（即為字母）時須討論以上兩種情況。并且明白了q＞0時等比數列的單調性不定，而q＜0時數列為擺動數列，與等差數列是有區別的。這樣給學生創設探索求知的新境界，學生的思維必然能得到有效的強化。