機械能守恒定律常見“陷阱”歸類

嚴　俊

摘要：本文通過對五道簡單、常見卻又能說明問題實質的例題的分析和總結，對機械能守恒定律解題的典型錯誤進行歸因歸類。

關鍵詞：“陷阱”歸類；圓周運動；速度分解；過程“突變”

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)6(S)-0051-2

應用機械能守恒定律時，相互作用的物體間的力可以是變力，也可以是恒力；同時這一定律只涉及系統的初、末狀態的物理量，而不需要分析中間過程的復雜變化，使問題處理得到簡化。但學生解題時，往往會誤入機械能守恒定律方便、簡捷的“陷阱”，而忽視對研究對象的受力分析、運動分析和過程分析。

1 與圓周運動相關

例1 如圖1，光滑弧形軌道與半徑為r的光滑圓軌道相連，固定在同一個豎直面內。將一只質量為m的小球由圓弧軌道上離水平面某一高度處無初速釋放。為使小球在沿圓軌道運動時始終不離開軌道，這個高度h的取值范圍如何？

典型錯解 以圓軌道最高點為零勢能點，有mg(h-2r)=0，解得h=2r。

簡析 忽視無支承面物體做圓周運動能否過最高點的條件：mg+N=mv2高r，N≥0，v高≥gr。又mg(h-2r)=12mv2高，解得h≥2.5r。但以h≥2.5r作為答案又是不全面的，不能對物體的運動情況做全面分析。思維定勢“不脫離軌道”就是能“完成圓周運動”使得漏掉“小球在圓軌道上的往復運動”，漏解h≤r。

例2 如圖2中的AOB是游樂場中的滑道模型，它位于豎直平面內,由兩個半徑都是R的1/4圓周連接而成，它們的圓心O1、O2與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上。一小球可由弧AO上任意點從靜止開始下滑。若小球從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小球開始下滑時應在圓弧AO上的何處？（用該處到O1的連線與豎直線的夾角表示）。

典型錯解 脫離軌道時，

N=0，mg=mv2R，v=gR，①

2mgR(1-cosθ)=12mv2。②

聯立①②解得cosθ=3/4。

簡析 忽視物體的運動情景已發生變化，死搬硬套v=gR，N=0。

此處脫離軌道受力如圖3，mgcosθ-N=mv2R，N=0，v=gRcosθ。 ③

聯立②③解得cosθ=4/5。

2 與速度分解相關

例3 如圖4，A、B的質量m瑼=m瑽=3.75kg，C的質量m瑿=1kg，A、B放在處于同一高度的光滑水平臺面上，A、B之間用一足夠長的輕繩（無彈性）連接，D、E分別是兩個大小不計的光滑定滑輪，DE間的距離l=1.2m，現將重物C用一光滑的輕鉤掛在繩子DE的中點，開始時用手托住C使繩子水平拉直，然后從靜止開始釋放C。當 C下落h=0.8m時，求 A、B、C速度v瑼、v瑽、v瑿的大小。

典型錯解 A、B、C速度大小相等，由

m瑿gh=12(m瑼+m瑽+m瑿)v2共。

解得v共=2m瑿gh2m瑼+m瑿

=2×1×10×0.82×3.75+1m/s

≈1.37m/s。

簡析 由圖4可知A、B、C的位移關系可知v瑼=v瑽，

v瑿=12(v瑼cosθ+v瑽cosθ)

=v瑼cosθ

=v瑼hh2+(l/2)2。①

再考慮能量守恒有：

m瑿gh=12m瑿v瑿²+12m瑼v瑼2+12m瑽v瑽2。②

聯立解得：

v瑿=1.12m/s，v瑼=v瑽=1.40m/s。

例4 如圖6，豎直平面內固定一半徑為R的半圓形圓柱截面，用輕質不可伸長且足夠長的細線連接A、B兩球，質量分別為M、m。現將球A從圓柱邊緣處靜止釋放，已知A球始終不離開球面且不計一切摩擦。求A球滑到最低點時，兩球速度的大小？

典型錯解

MgR-mg2R=12(M+m)v2共。

簡析 A球滑到最低點時，兩球速度不等，A球的運動有兩實際效果：沿繩方向使繩伸長、垂直于繩方向使繩擺動，因此v瑼在沿繩方向上的投影速度與v瑽相等，如圖7所示。

MgR-mg2R=12Mv2瑼+12mv2瑽，

v瑼sin45°=v瑽。

聯立解得：

v瑼=2(M-2m)gR2M+m，

v瑽=(M-2m)gR2M+m。

3 與運動過程“突變”相關

例5 如圖8所示，一長為L的細繩一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球，開始時，細繩處于水平線上方30°的位置 A點處而伸直，將小球由A靜止釋放，求通過圓弧最低點C時小球的速度為多大？

典型錯解 mgL(1+sin30°)=12mv2。

簡析 如圖9所示，小球自由下落到與A對稱的B點瞬間，小球的運動發生突變，由自由落體變為變速圓周運動，繩瞬間產生張力，小球的機械能不守恒，可認為轉化為繩的彈性勢能而最終變為內能散失。將v瑽進行分解，v2損失，以v1開始做變速圓周運動。mgL=12mv2瑽，v1=v瑽cos30°，mgL(1-cos60°)=12mv2瑿-12mv21。聯立解得：v瑿=52gL。

可見，應用機械能守恒定律分析幾個不同物理過程的物體運動，要注意分析每個過程機械能是否守恒，還要分析過程的聯結點有無能量損失。只有無機械能損失才能對整體列機械能守恒式，否則只能給出每段對應的守恒關系。對于繩子突然繃緊，子彈打木塊，爆炸、打擊等非彈性碰撞情況，一般不能直接使用機械能守恒定律。

(欄目編輯陳 潔)