恒成立問題的求解策略

新課程下的高考越來越注重對學生的綜合素質的考察，含參數不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，是各類考試的熱點，也是一個考察學生綜合素質的很好途徑，這類問題既含參數又含變量，學生往往難以下手.解決高考數學中的恒成立問題常用以下幾種策略:①函數性質法;②主參換位法;③分離參數法;④數形結合法.下面就以近幾年高考試題為例加以說明.

一、函數性質法

1. 一次函數:若一次函數f(x)=ax+b(a≠0)>0(或<0)在x∈[p，q]時恒成立，則在p，q處的函數值滿足: f(p)>0且f(q)>0(或f(p)<0且f(q)<0).

2. 二次函數:①若二次函數f(x)=a2x+bx+c(a≠0)>0(或<0)在R上恒成立，則有a>0Δ<0 (或a<0Δ<0);②若二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在指定區間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解.

例1(2008年江西卷理12) 已知函數f(x)=2mx2-2(4-m)x+1，g(x)=mx，若對于任一實數x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是()

A. (0，2) B. (0，8)

C. (2，8) D. (-∞，0)

分析:f(x)與g(x)的函數類型，直接受參數m的影響，所以首先要對參數進行分類討論，然后轉換成不等式的恒成立的問題利用函數性質及圖像解決.

解析:當m=0時，f(x)=-8x+1>0在(-∞，)上恒成立，而g(x)=0在R上恒成立，顯然不滿足題意;

當m<0時，g(x)在R上遞減且g(x)=mx>0只在(-∞，0)上恒成立，而f(x)是一個開口向下且恒過定點(0，1)的二次函數，顯然不滿足題意.

當m>0時，g(x)在R上遞增且g(x)=mx>0在(0，+∞)上恒成立，而f(x)是一個開口向上且恒過定點(0，1)的二次函數，要使對任一實數x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數則只需f(x)>0在(-∞，0]上恒成立.則有<0Δ=4(4-m)2-8m<0或≥0，解得4

3. 其它函數:f(x)>0恒成立f(x)min>0(注:若f(x)的最小值不存在，則f(x)>0恒成立f(x)的下界大于0);f(x)<0恒成立f(x)max<0(注:若 f(x)的最大值不存在，則f(x)<0恒成立f(x)的上界小于0).

例2(2007年重慶卷理20) 已知函數f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c，其中a、b為常數.(1)試確定a、b的值;(2)討論函數 f(x)的單調區間;(3)若對任意x>0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范圍.

分析: f(x)≥-2c2恒成立，即 f(x)min≥-2c2，解決此題的關鍵是求f(x)min，x>0.

解:(1)(2)略.

(3)由(2)知，f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c，此極小值也是最小值.要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立，只需-3-c≥-2c2.即2c2-3-c≥0，從而(2c-3)(c+1)≥0. 解得c≥或c≤-1.∴c的取值范圍為(-∞，-1]∪[，+∞).

二、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度.即把主元與參數換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果.

例3 (2008安徽文科20).已知函數f(x)=x3-x2+(a+1)x+1，其中a為實數.(Ⅱ)已知不等式f ′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0，+∞)都成立，求實數x的取值范圍.(節選)

分析:已知參數a的范圍，要求自變量x的范圍，轉換主參元x和a的位置，構造以a為自變量，x作為參數的一次函數g(a)，轉換成a∈(0，+∞)，g(a)>0恒成立再求解.

解析:由題設知ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1對a∈(0，+∞)都成立，即a(x2+2)-x2-2x>0對a∈(0，+∞)都成立.設g(a)=(x2+2)a-x2-2x(a∈R)，則g(a)是一個以a為自變量的一次函數.∵x2+2>0恒成立，則對x∈R，g(a)為R上的單調遞增函數. 所以對a∈(0，+∞)，g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)≥0，-x2-2x≥0，∴-2≤x≤0，于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0｝.

三、分離參數法

利用分離參數法來確定不等式f(x，λ)≥0，(x∈D，λ為實參數)恒成立中參數λ的取值范圍的基本步驟:(1) 將參數與變量分離，即化為g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式;(2) 求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;(3) 解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min) ，得λ的取值范圍.適用題型:(1) 參數與變量能分離;(2) 函數的最值易求出.

例4(2007年山東卷文15)當x∈(1，2)時，不等式x2+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是 .

解析: 當x∈(1，2)時，由x2+mx+4<0得m<-.令f(x)==x+，則易知f(x)在(1，2)上是減函數，所以x∈[1，2]時f(x)max=f(1)=5，則(-)min>-5∴m≤-5.

四、數形結合

對于f(x)≥g(x)型問題，利用數形結合思想轉化為函數圖像的關系再處理.

若把等式或不等式進行合理變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結果.對于選擇題、填空題，這種方法更顯方便、快捷.

例5(2007安徽理科3) 若對任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，則實數a的取值范圍是( )

A. a<-1 B. |a|≤1

C. |a|<-1D. a≥1

解析:對x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，則由一次函數性質及圖像知-1≤a≤1，即|a|≤1.

上述例子剖析了近幾年數學高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現的不同，但其實質卻都與求函數的最值是等價的，這也正體現了數學中的“統一美”.

責任編輯羅峰