新課程下初中數學中開放性試題探析

我們加強蘇科版初中數學教材中開放性試題的研究，有利于促進學生“生動”“活潑”地學習，有利于發展學生的創造性思維，有利于培養學生的創新意識和實踐能力。現舉例加以淺析，供同行參考，希望能起到拋磚引玉的作用。

一、條件開放

此類題目給出結論，讓學生尋求滿足結論的部分條件，而這種條件往往又是不唯一的，它要求學生要善于分析，從題目的結論出發，按圖索驥，執果索因，尋找答案。七下有這樣一題：如圖（圖略），MP=MQ，還要具備什么條件，就能使△MNP≌△MNQ？本題是一道考查三角形全等的開放式試題，答案是多樣的。在分析本題時，首先要找出題目中的隱含條件：在△MNP和△MNQ中， MN=MN，同時又已具備條件MP=MQ，而準確把握三角形全等的幾種方法是解決本題的關鍵。因此可以添加的條件可以是：∠PMN=∠QMN或PN=QN或∠P=∠Q=90°等條件。

二、結論開放

這類題，主要是給出題目的條件，根據題目的條件可以得到許多不同的結果，答案是不唯一的，此類題目與第一類題目的結構設置剛好相反，需要學生進行大膽而合理的猜想。如七上第三章有這樣一道題：寫出一個含有字母a的代數式，使字母a 不論取什么值，這個代數式的值總是正數。本題學生要明確怎樣的代數式的值是非負數，由此不難得到滿足條件的代數式有a2+1，a+2，a2-a+1等不同的答案。又如，在平行四邊形ABCD中，G是BC延長線上一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，問圖中有幾對相似的三角形？請選擇其中的一對給予證明。

三、條件、結論同時開放

此類題目能有效地提升學生的主體意識和創新潛能的發揮。題目的條件與結論都不確定，需要學生進行認真的分析，把符合題目要求的條件進行排列與組合，再進行解答或論證。如八上有這樣一道題：四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，請從下列6個條件中選取3個，使四邊形ABCD成為矩形，并說明理由。①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°;⑤OA=OC；⑥OB=OD。在解答此題時首先要引導學生回顧一個四邊形是矩形的條件，同時要交給學生怎樣進行6個條件的組合，這是一種方法也是一種策略。綜上所述可以這樣組合：①②③；①②④；③⑤⑥；④⑤⑥等等，理由略。又如，如圖，下面四個條件中：AE=AD，AB=AC，OB=0C，∠B=∠C，請以其中兩個為已知的條件，第三個為結論，寫出一個正確的命題。

分析：本題共有如下8種正確的組合：①②-③，①②-④，①④-②，①④-③，②④-①，②④-③，③④-①，③④-①，但本題只要求寫一個正確的命題，具有明顯的開放性。

四、解題策略開放

策略開放題主要是給學生一個實際的背景，在此背景下促使學生對所學的知識進行梳理、整合，從多角度、多層次進行策劃，尋求解題的多種策略，培養學生運用知識解決實際問題的能力。如教材中有這樣一道改編題：在一次郊游中，數學老師讓學生測量一個池塘兩端A、B兩點間的距離，怎樣測量？請思考并與你的同伴交流你的測量方法？在分析本題時要引導學生對有關三角形全等、直角三角形及三角函數、相似三角形等知識進行復習、融合，制訂解決方案。通過討論如下方案可以使用：方案一，在池塘的旁邊取可直接到達點A、B 的點C，連接AC、BC，并分別延長AC、BC 分別到點D、E；方案二，在射線AD上取可直接到達點B的一點C，測量線段AC、BC的長度，利用勾股定理的相關知識可求得。本題還可以運用三角函數、相似三角形的有關知識去解決，在此不再一一說明。又如，某學生從一塔形建筑物經過，只見這個建筑物基部以北是一片平坦的空地，建筑物的影子清楚地映在地面上，這位同學想估算一下這座建筑物的高度，但身邊未帶任何測量工具，他忽然想起自己的身高為168cm，而雙腳的長度是25cm，于是他利用這些條件把問題解決了，請你說明這位同學是如何解決這一問題的（寫出估算過程和計算理由）。

分析：這是一道極妙的開放題，它要求學生理解測量的辦法，把實際問題抽象為幾何中的相似問題。

解：（1）用雙腳估量出想估算的這個建筑物的影長和自己的影長；（2）根據相似三角形的性質，在同一時間內，建筑物的高與其影長的比等于人的身高與影長的比，列出比例式，計算出建筑物的高度。

作者單位：江蘇省揚州市甘泉中學