重載下調心滾子軸承接觸應力分析及凸形設計

李思成，陳曉陽，陳愛華，馬純青

(1.上海大學 機械自動化系，上海 200072；2.上海聯合滾動軸承有限公司，上海 200240；3.杭州勞格羅拉軸承滾子有限公司，杭州 310013)

1 前言

調心滾子軸承具有接觸區域長度較長的特點，因此具有很大的承載能力，并且其還可以適應由于軸的安裝、制造誤差、變形等帶來的偏斜。

在滾動軸承的接觸問題分析中，由于Hertz接觸理論能得到較為符合實際工況的結果而得到廣泛應用。Hertz接觸變形理論對于點接觸和線接觸的接觸變形求得了精確的理論解。對于點接觸，當彈性體表面可以近似地以二次曲面表示時給出了問題的全部解，而對于線接觸只給出了部分解[1]。對于一般的圓柱滾子軸承，Lundberg于1939年提出了著名的Lundberg對數凸形公式，給出了最佳凸度曲線——對數素線。但是對于調心滾子軸承，由于其特殊的幾何形狀，目前還不能對圓弧素線做像對數素線這樣的修形。文獻[2]指出輕載時調心滾子軸承中滾子和滾道為點接觸，當作用在軸承上的載荷超過點接觸的極限時為線接觸，該極限為接觸區域長軸的長度大于滾子的有效長度。實際上只有當接觸區域長度遠大于寬度的時候才接近線接觸。隨著施加載荷的增大，滾子和滾道的接觸區域會變成如圖1所示陰影部分的形狀，這是因為當載荷增大到一定值時，接觸區域長度會達到滾子的有效長度，如果載荷繼續增大則接觸區域只能向寬度方向增大，而滾子端部修形部分比中間增大更快，應力值也迅速增大，這種接觸區域已經超出了Hertz理論解的范圍。

圖1 重載時實際接觸區域

文獻[3]利用切片法對單列角接觸調心滾子軸承進行了應力分析，由于切片法忽略了相鄰兩個切片之間的影響，因此不能正確反映滾子端部的應力集中；文獻[4]提出一種一邊圓弧素線一邊對數素線相結合的滾子輪廓，但這種滾子輪廓同時要求內、外圈滾道做相應的修形，在現有的加工技術水平上很難實現，并且沒有給出這種輪廓與相應的滾道接觸應力分布；文獻[5]利用有限元法分析了4種表面形狀的滾子(直素線、圓錐倒角、圓弧倒角、全圓弧素線)和平面接觸情況下滾子的接觸應力；文獻[6-7]將影響系數法同Boussinesq J半空間體力-變形結合起來求出一般表面輪廓的接觸問題；文獻[8]利用數值法編寫FORTRAN程序計算了5種表面形狀(直素線、對數素線、全圓弧素線、相交倒角直素線、相切倒角直素線)的滾子和平面接觸情況下滾子的接觸應力。以上文獻對于調心滾子軸承的應力計算都是將接觸情況簡化為滾子和平面的接觸，這與實際接觸情況有一定差別，另外，沒有考慮到滾子的端部修形部分對接觸應力的影響，因此在重載情況下，有必要對調心滾子軸承的輪廓做進一步研究。

2 彈性接觸理論方程

根據文獻[9]，設任意表面的兩光滑彈性體起始接觸于點O，并以該點為圓心建立直角坐標系，如圖2所示，M，N兩點坐標為(x,y,z1)，(x,y,z2)。

圖2 兩彈性體接觸模型

施加外力P后，彈性體發生變形，起始接觸點擴展為一接觸區域Ω，變形后彈性體上的點服從位移方程：

(1)

式中：δ為兩彈性體接觸的彈性趨近量；ω1，ω2為M，N兩點在相應z坐標軸方向的變形。

當變形在彈性范圍內時，根據Boussinesque[1]解，彈性體變形可表示為：

(2)

式中：k為材料常數；E為材料彈性模量；ν為泊松比。

將(2)式帶入(1)式可得在Ω內一般的光滑彈性接觸問題的主導方程——Fredholm積分方程為：

(3)

同時，接觸應力p(x,y)應該滿足平衡條件和物理條件：

(4)

這樣，根據彈性體的幾何形狀、材料常數和外力p，由(3)式就可以求出接觸區域Ω，彈性趨近量δ以及接觸應力p(x,y)。

3 彈性接觸的數值解法

利用影響系數法，假設一矩形接觸區域Ω1，Ω1要大于實際接觸區域Ω，將Ω1劃分為j×i個矩形單元，并假定接觸應力在各單元上均勻分布。以pj表示單元j上的接觸應力，以單元i的中心(xi,yi)處彈性體表面的原始距離為該單元的表面函數離散值Si，則(3)式可在Ω1上離散為一組n+2階的線性代數方程組：

(5)

式中：Fij為影響系數。

(6)

根據平衡條件將(4)式離散化為：

(7)

式中：Aj為Ω1區域上離散后的單元面積，由(5)式和(6)式建立彈性體接觸問題的主導線性方程組，以矩陣形式表示為：

BP=S

(8)

式中：

(9)

(10)

(11)

根據以上分析過程，編制FORTRAN程序求解矩陣方程，流程如圖3所示。

圖3 程序流程圖

4 軸承的應力分析

以某公司生產的型號為23156CA軸承(圖4)為例進行計算，其主要幾何參數如表1所示，軸承材料為GCr15SiMn，彈性模量E=2.08 GPa，泊松比ν=0.3，滾子數目為2×21，接觸角為11.3°，滾子為雙排錯位排列。

表1 軸承幾何參數 mm

圖4 調心滾子軸承23156CA

4.1 程序正確性驗證

當對軸承施加一較小的載荷時，接觸區域為一橢圓，因此可以利用Hertz理論驗證該程序的正確性，Hertz解基于文獻[10]中公式計算得到。為了保證計算結果的精確性，滾子和滾道接觸區域寬度和長度方向劃分為20×100個網格。對受力最大的滾子施加Q=50 kN的力，所得到的接觸應力如圖5所示，計算結果對照表2，可以看出與Hertz解相比較，該數值方法計算的結果相差很小，因此程序的結果是正確的。

圖5 施加50 kN時滾子-內圈接觸應力分布

表2 數值解與Hertz解對比

4.2 原設計幾何尺寸及技術要求下的計算

該軸承所設計的徑向基本額定動載荷為Cr=2 200.3 kN，對于正常徑向游隙的滾子軸承，受力最大滾子載荷可根據(12)式計算。

(12)

根據文獻[10]得Jr=0.457 7，將Fr分別取0.15Cr，0.2Cr，0.3Cr，0.5Cr，0.7Cr值可算得Qmax分別為35，46.7，70，116.7，163.4 kN。以內圈和滾子的接觸為例，在程序中施加幾種載荷計算結果如圖6所示。

圖6 0.15～0.7Cr時受力最大滾子-滾道接觸應力分布

由圖6可以看出，隨著載荷的增大，接觸應力和接觸區域增大。當施加載荷為0.15Cr時，滾子和滾道的接觸區域長度只有46.4 mm，只占滾子有效長度的83.8%，有16.2%的滾子有效長度沒有用到；當載荷增加到0.2Cr時，接觸區域長度為51.04 mm，占滾子總長度的92%，仍然有8%的滾子有效長度沒有利用。一般情況下軸承的重載是指0.15～0.2Cr，但是通過計算得出該軸承即使在0.2Cr下滾子仍然有部分長度未利用，造成了材料的浪費。當施加0.3Cr的載荷時滾子和內圈的接觸區域長度剛好達到滾子的有效長度，當載荷進一步增大時在滾子的倒角處開始出現邊緣應力集中；當載荷增加到0.5Cr甚至0.7Cr時邊緣應力集中已經很明顯，這樣滾子的邊緣部分很容易因疲勞而失效。由圖7載荷為0.5Cr時滾子-滾道應力分布可以看出，調心滾子軸承的接觸區域既不是橢圓也不是矩形，已經超出了Hertz理論解的范圍。

圖7 0.5Cr時受力最大滾子-滾道接觸應力分布

在一些特殊情況下，例如瞬時沖擊或過載，軸承有可能會受到極重載荷的作用，相應的力仍要由滾子來承擔。下面從兩個方面對滾子進行改進以使滾子既能承受較大的接觸應力又不會產生較大的邊緣應力集中現象。

4.3 改變滾子與滾道的密合度

根據軸承的原設計尺寸計算出滾子和內滾道素線的密合度Ф=0.98，保持內滾道的曲率半徑不變，改變密合度的大小，在載荷為0.5Cr時得到在不同的密合度下滾子-內滾道的接觸應力如圖8所示。由圖可知，隨著密合度的減小，邊緣應力集中逐漸降低，當密合度Ф=0.965時邊緣應力集中現象消失；但在邊緣應力逐漸降低的過程中，滾子-內圈接觸區域中部的接觸應力卻在不斷增加，在密合度由0.98降至0.965的過程中，接觸區域中部的應力由2.182 GPa增加到2.388 GPa。

圖8 不同密合度下滾子-內圈接觸應力

因此，通過改變滾子與滾道的密合度可以減少或者消除邊緣應力集中，但是由于載荷的總量是一定的，邊緣應力降低的同時又導致了中間應力的增加。

4.4 滾子倒角的改進

由于滾子倒角和素線交點處的應力集中會在很大程度上減小滾子的壽命，通過改變滾子倒角可以達到降低邊緣應力集中的目的。傳統的CAD倒角方式是選擇兩條曲線直接輸入倒角半徑值，如果在該滾子的設計中采取這種倒角方式，當倒角值過大時，必定會使滾子的中間素線減小，滾子和滾道的接觸面也會減小，這樣會大大增加滾子中間部分的應力值。倒角改進方式如圖9所示，原設計中倒角半徑為1.5 mm，實際上兩圓弧交點離端面距離為1.3 mm，設該點為c，固定c點將倒角半徑值增大。在載荷為0.5Cr時，滾子-內圈密合度為0.98，在滾子端部修形半徑R=60 mm時，所得的滾子軸向中間界面上的應力分布情況如圖10所示。由圖可知，在滾子端部修形半徑R=60 mm時，接觸區域中間應力沒有增大，倒角和滾子素線交點處應力值大大降低，倒角邊緣應力值為0。

圖9 倒角的改進

圖10 滾子端部修形半徑R=60 mm時受力最大滾子-滾道接觸應力分布

當滾子端部修形半徑增大到120 mm時，滾子-滾道應力分布如圖11所示，可以看出邊緣應力逐漸變小，變小的趨勢要小于接觸區域中間的應力，另外接觸區域分布也有了較大的改善。

圖11 滾子端部修形半徑R=120 mm時受力最大滾子-滾道接觸應力分布

軸承在重載情況下，理想的滾子-滾道接觸情況應該是接觸區域長度為滾子的有效長度，在極重載荷或瞬時沖擊等特殊載荷條件下，施加在滾子上的載荷會更大，此時設計良好的滾子倒角部分可以起到一定的承載作用。

5 結論

(1) 在輕載情況下，球面滾子與滾道的接觸區域為橢圓形，接觸狀況屬于Hertz接觸范圍，經過計算，得到了和經典的Hertz理論較為一致的解，從而驗證了程序的正確性。

(2)在重載情況下，由圖7可知接觸區域既不是橢圓也不是矩形，超出了Hertz理論的計算范圍，此時按照線接觸的方式求解表面接觸應力是不正確的，利用數值計算方法在這種情況下計算出了球面滾子和內圈滾道的表面接觸應力。

(3)對軸承施加0.15Cr載荷時，滾子的有效長度并未完全利用，當載荷增加到0.3Cr時剛好完全利用滾子的有效長度，載荷進一步增加時滾子倒角處開始出現邊緣應力集中現象。通過改變滾子和滾道的密合度；采用新的倒角設計方法，并改進滾子倒角處的曲率半徑，可使得在極重載荷或者瞬時沖擊載荷下，滾子-滾道的邊緣集中應力大大減小，接觸應力分布也有了較大改善。