初中數學試題正向功能淺析

問題是數學教育的心臟。當代最著名的數學教育家波利亞強調指出：“中學數學教學首要任務就是加強解題訓練。”數學習題確實存在著多種功能，當學生一旦進入解題這一活動情景之中，他就接受著一種“思想的體操”的訓練，從技能的或思維的；智力的或非智力的，從各方面塑造著自己。但是，我們也應該嚴防課堂解題教學進入這樣的誤區：一部分中學數學教師沉湎于解題之中，忘記了“解答數學的習題本身不是目的，而只是一種訓練手段。”他們不是把解題看成是培養學生創造能力的機會，而是要求死記硬背各種套路和模式，把學生訓練成對習題作出“快速反應”的解題機器。教師的定位應該是組織者、引導者及合作者。教師首先要關心備至的、深思熟慮的、小心翼翼地去觸擊年輕的心靈。學生的學習興趣，思維能力往往就是在學習的過程中培養和提高的。學生的能力培養與習題的正向功能有關。

一、運用不定型開放題，培養學生思維的深刻性

不定型開放題，所給條件包含著答案不唯一的因素，在解題的過程中，必須利用已有的知識，結合有關條件，從不同的角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結論，從而培養學生思維的深刻性。

學習分數時，學生對“分率”和“用分數表示的具體數量”往往混淆不清，以致解題時在該知識點上出現錯誤，教師雖反復指出它們的區別，卻難以收到理想的效果。在學習分數應用題后，讓學生做這樣一道習題：“有兩根同樣長的繩子，第一根截去9／10，第二根截去9／10米，哪一根繩子剩下的部分長？”此題出示后，有的學生說：“一樣長。”有的學生說：“不一定。”我讓學生討論哪種說法對，為什么？學生紛紛發表意見，經過討論，統一認識：“因為兩根繩子的長度沒有確定，第一根截去的長度就無法確定，所以哪一根繩子剩下的部分長也就無法確定，必須知道繩子原來的長度，才能確定哪根繩子剩下的部分長。”這時再讓學生討論：兩根繩子剩下部分的長度有幾種情況？經過充分的討論，最后得出如下結論：①當繩子的長度是1米時，第一根的9／10等于9／10米，所以兩根繩子剩下的部分一樣長；②當繩子的長度大于1米時，第一根繩子的9／10大于9／10米，所以第二根繩子剩下的長；③當繩子的長度小于1米時，第一根繩子的9／10小于9／10米，由于繩子的長度小于9／10米時，就無法從第二根繩子上截去9／10米，所以當繩子的長度小于1米而大于9／10米時，第一根繩子剩下的部分長。培養了學生思維的深刻性，提高了全面分析、解決問題的能力。

二、數學試卷要給人以美感，要有樸實的風格，激發學生的數學興趣

數學試題應該體現數學美。數學的嚴謹、簡煉就是一種美。因此數學命題的表述也應嚴謹、簡煉、確切。要講究語言（文字）美，要兼顧學生的年齡特點，使用與初中學生相適應的詞語，特別要注意試題的指向要十分明確，這一點在填空題中尤為重要，不要由于指向不明，學生不知所措，或者造成岐疑，答案可以多種等。

數學試卷的整體美感離不開試題個體的美感。數學試題的美感，往往是這道試題使人感受到它體現出的一種典型的數學思想，如數形結合的思想，動態思想、等等；往往是這道試題很有回味，或者使人感到它還有很大的發展余地，開發的余地，研究的余地，暗暗為之喝彩；往往是這道試題切中存在于教學上使人有痛徹之感的薄弱環節，深有喜遇良醫之感。這樣的試題的確給人以一種美感。

三、應用題中的推理問題，能培養學生的推理能力

競賽中常見的應用題不一定是以求解的面目出現，而是一種邏輯推理型.解答這類題目不僅需要具備較強的分析綜合能力，還要善于用準確簡練的語言來表述自己正確的邏輯思維.

例10（1986年加拿大數學競賽題）有一種體育競賽共含M個項目，有運動員A、B、C參加，在每個項目中，第一、二、三名分別得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3為正整數且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一，求M的值，并問在跳高中誰取得第二名？

分析考慮三個得的總分，有方程：

M(p1+p2+p3)=22+9+9=40， ①

又p1+p2+p3≥1+2+3=6，②

∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，從而M≤6.

由題設知至少有百米和跳高兩個項目，從而M≥2，

又M|40，所以M可取2、4、5.

考慮M=2，則只有跳高和百米，而B百米第一，但總分僅9分，故必有：9≥p1+p3，∴≤8，這樣A不可能得22分.

若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6，若p1≤5，那么四項最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.

∵4（p1+p2+p3）=40，∴p2+p3=4.

故有：p2=3，p3=1，A最多得三個第一，一個第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.

若M=5，這時由5(p1+p2+p3)=40，得：

p1+p2+p3=8.若p3≥2，則：

p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.

又p1必須大于或等于5，否則，A五次最高只能得20分，與題設矛盾，所以p1≥5.

若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.

A=22=4×5+2.

故A得了四個第一，一個第二；

B=9=5+4×1，

故B得了一個第一，四個第三；

C=9=4×2+1，

故C得了四個第二，一個第三.

（作者單位：河南省平頂山市第十四中學）