解“含參數不等式恒成立”問題的常見基本策略

不等式具有應用廣泛，變換靈活的特點，是中學數學的主體內容之一，它既是中學數學的重點內容，也是高等數學的基礎與工具，特別是含參數不等式蘊涵著豐富的數學思想和方法，是高考的熱點，也是學習的難點。它往往以函數、數列、三角函數、解析幾何為載體，具有一定的綜合性。解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想：

策略一：（轉化為含參函數的最值討論）若函數f(x)在定義域為D，則當x∈D時，有f(x)≥M恒成立 f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M

例一已知函數

①求f(x)的反函數f-1(x);

②若不等式恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：本題的第二問將不等式 轉化成為關于t的一次函數恒成立的問題。那么，怎樣完成這個轉化呢？轉化之后又應當如何處理呢？

【解析】 ①略解

②由題設有

即恒成立。顯然，a≠-1

令

則 恒成立。

由于 是關于t的一次函數。（在

的條件下 表示一條線段，只要線段的兩個端點在x軸上方就可以保證

恒成立）

策略二：（分離參數，轉化為求函數的最值）運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)f(x)max。(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值

例二 定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log23且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)。

(1)求證f(x)為奇函數；

(2)若對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍。

分析: 問題(1)欲證f(x)為奇函數即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立。在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值。令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數得到證明。問題(2)的上述解法是根據函數的性質。f(x)是奇函數且在x∈R上是增函數，把問題轉化成二次函數f(t)=t2-(1+k)t+2＞0對于任意t＞0恒成立．對二次函數f(t)進行研究求解。

【解析】(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0。

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有

0=f(x)+f(-x)。即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數。

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，又由(1)f(x)是奇函數。

由于x∈R，所以 ，即u的最小值為。

要使對于x∈R不等式恒成立，只要

綜上所述，

對于任意x∈R恒成立。

說明: 上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎。利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉化為函數的最值問題.

數學思想方法是解決數學問題的靈魂，同時它又離不開具體的數學知識在解決含參數不等式的恒成立的數學問題中要進行一系列等價轉化。因此，更要重視轉化的數學思想．數學思想蘊涵在所用的數學知識和方法之中，蘊涵在解題的過程之中，解題時需將知識、方法、思想融為一體。高考中特別重視思想、方法和考查。這是因為數學在提高人的思維能力方面有著其他學科所不可替代的獨特作用，它不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式，其表現就是數學思想。因此在平時學習中要充分挖掘數學思想方法。

（作者單位：福建省惠安縣第三中學）