對正方體展開和折疊的簡化

圖形的展開和折疊是培養學生空間知覺能力的重要課題，在教學過程中我引導學生從現實生活中發現數學問題，并借鑒已有的知識與方法，讓學生經歷發現問題提出問題解決問題理性歸納的過程，通過合作探究，小組交流，引導學生在自主合作的探究過程中獲取知識、能力、經驗，增強學生良好的數學問題意識、應用意識，

【例】下列各圖中，經過折疊不能圍成一個正方體的是()，

由于學生的空間想象能力并沒有完全建立，因此對這樣的習題依然存在畏難情緒，怎樣才能解決這類習題呢?我首先給學生布置了如下任務：先把學生分成6個小組，然后每個小組分發若干張矩形的硬板紙(剛好能剪成六個正方形)，要求把硬板紙剪成6個正方形，并把剪下來的6個正方形粘在一張薄紙上，然后折疊成一個正方體，在學生把正方形粘在薄紙上后，有的能折成正方體，有的卻不能，學生很快就提出問題：“把六個正方形粘成什么形狀才能折成正方體?”

引導學生：借助數學中常用的分析方法，假設已經折疊成了正方體，把它展開之后會得到什么形狀的平面圖形呢?學生將不同的正方體展開圖貼到黑板上，一會兒整個黑板幾乎被貼滿了，這么多種展開圖有沒有規律?如果有規律，可以歸納成幾種類型?在經過熱烈的討論之后，學生找到了以下規律：第一類(如圖1)，這一類形象地稱作141(最上面一個，最下面一個，中間四個聯系在一起)；第二類231(如圖2)；第三類222(如圖3)；第四類33(如圖4)，

可以觀察到上面的規律有四組結論，比較難于掌握，為了記憶方便，把上述四種情況分為二類，第一類三排：141，231，222，但田字形不行，凹字形不行；第二類二排：33，

進一步思考：上述方法需要死記硬背，容易忘記，有沒有更具操作性的方法?

容易想到如下問題：如能在展開圖中找到構成正方體的三個對面，那么展開圖就可以折疊成正方體，展開圖中什么形式的兩個面能構成正方體的對面?通過分析，圖1中141的兩個1面可以構成正方體的對面，圖5情形我們稱之為131，兩個1面也可以構成正方體的對面，圖6情形我們稱之為121，兩個1面也可以構成正方體的對面，一般情形，連續三個正方形的左右兩個正方形可以構成正方體的對面，

通過分析我們得到一個具有操作性的判斷方法：可以設想把141，131，121中間的4，3，2壓縮為一個正方形，統一變成一般情形來進行判斷，如能找對三個對面則能折疊成正方體，

圖1中，中間4個正方形壓縮為一個正方形，則上下兩個正方形構成對面；再看中間四個正方形，從左到右，第一個同第三個，第二個同第四個構成立方體的兩個對面，所以能折疊成立方體，再看圖2中第一種情形，為了敘說方便我們給正方形標號(見圖7)，從正方形5開始，43壓縮，與2構成對面，正方形4、32壓縮，與6構成對面，最后31構成對面，所以這一情形能折疊成正方體，再來看一下不成立的情形，我們也給正方形標上號(見圖8)，這時13可以成對面，26成對面(35壓縮)，但45不能成對面，所以圖8不能折疊成正方體；另一情形，1與5(24壓縮)可以成對面，26可以成對面(35壓縮)，但34不能構成對面，所以圖8不能折成正方體，一般地，一個圖例如要討論多種情形，只要有一種情形不成立，此種圖例也就不能折疊成正方體，

折疊問題有了上面方法就可輕易解決了，并且容易解決如下問題：要做一個正方體形的燈籠，并想在燈籠的一組對面上寫上兩字，有了上面方法，可以在展開圖上直接寫出，這里就不做進一步探討，

(責任編輯金鈴)