例談數學語言相互轉換的訓練

在數學學習中，常用的數學語言包括自然語言（或日常語言）、符號語言、圖象語言.在數學教學中，轉換數學語言的訓練，是促進人的左右腦協調的極佳訓練，因此教師教學時應注重數學語言互換的訓練.

哪怕是同一種數學概念、定理，都有著不同的表達方式.例如，重要的函數之一：最高次數是二次的整式函數，日常用語為二次函數，符號語言是函數y=ax2+bx+c（a≠0， a、b∈R），而用圖象語言則表示為一條拋物線.同樣為二次函數，符號語言又可以用多種形式表示，即除以上的一般式外，還有 y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是拋物線與橫軸的交點的橫坐標，也可以表示為y=a（x-k2）+h，其中（k，h）為拋物線的頂點坐標等.

常用的這三種語言有著各自的特點：符號語言較簡潔、嚴謹，有利于正確表達和進行推理；圖象語言易產生清晰的視覺形象，能直觀表示概念定理的本質及相互間的關系；日常用語較自然生動，它能將問題所研究的對象的含義在人們頭腦中更加清楚地刻畫出來.

【例1】 有50名學生同時做兩道數學題，第一題做對的有30人，第二題做對的有33人，兩題都做不對的人數比兩題都對的人數的三分之一多一人，問兩題都對的人數是多少？

分析：設答對第一題的學生用集合A表示，答對第二題的學生用集合B表示，則兩題都答對的學生用集合A∩B表示.題目由日常用語給出條件，但直接從這些條件中難以理出頭緒，于是試圖將條件換成圖象語言，如圖1：

圖1

（1）A的元素為30人，B的元素為33人.

（2）設A∩B的元素為x，可將日常用語轉換為符號語言，集合A中打斜線部分為（30-x）；集合B中陰影部分為（33-x）；兩題都答對的人數為x，兩題都答不對的人數為(x/3+1).以此可建立等量關系.

解：設答對第一題、第二題的學生分別用集合A、B表示，且A∩B的元素為x，由圖1知

（30-x）+x+(33-x)+(x/3+1)=50，∴x=21(人).

【例2】 A=｛x｜x2-2x-3≤0｝，B=｛x｜x2+px+q＜0｝，A∩B=｛x｜-1≤x＜2｝.求實數p、q滿足的關系式.

分析：A=｛x｜x2-2x-3≤0｝是抽象的數量關系，將其轉化為圖象語言，用數軸溝通A與A∩B的關系.圖2

若B=｛x｜m＜x＜n｝，得n=2，m＜-1，將這結果與已知條件聯系，即可確定關系式.

解：B=｛x｜m＜x＜n｝，又A=｛x｜-1≤x≤3｝，A∩B=｛x｜-1≤x＜2｝.由圖2知n=2，m<-1，從而 n=2為方程x2+px+q=0的一個根，所以p、q滿足q=-2p-4.

【例3】 若拋物線y= x2+ax+2與連接M（0，1）、N(2，3)的線段（含端點M、N）有兩個相異的交點，求a 的取值范圍.

分析：（1）日常用語：“連接M（0，1）、N(2，3)的線段”轉換為“過M、N兩點的直線在 M、N之間的部分”，然后轉換為符號語言：y=x+1，x∈［0，2］.

（2）日常用語：“拋物線y= x2+ax+2與連接M（0，1）、N(2，3)的線段（含端點M、N）有兩個相異的交點”轉換為符號語言：“由y=x+1與y= x2+ax+2，而且x∈［0，2］組成的方程組有兩個不等的實數解”.

圖3

解:如圖3，過M（0，1）、N(2，3)兩點的直線方程為y=x+1，要使拋物線y= x2+ax+2與連接M（0，1）、N(2，3)的線段（含端點M、N）有兩個相異的交點，必須且只須

y= x2+ax+2、

y=x+1有兩個相異的實數解，即方程x2+ax+2= x+1 當x∈［0，2］時有兩個相異的實數解.令f(x)= x2+(a-1)x +1， 當f(x)滿足下列條件：

0＜- a-12＜2，

(a-1)2-4＞0 ，

f(0)=1＞0，

f(2)=2a+3≥0，

解得a的取值范圍為-32≤a＜-1.

一般地，如果問題的敘述是以日常用語形式表述的，尤其是應用題，為便于計算與推理，則引進字母變量或建立數學模型是常見的數學思維方法，如例1；如果問題的敘述以抽象的字母或符號語言出現，常用的思維方法往往是先轉換成圖象語言或日常用語，如例2；如果問題的敘述有多種語言形式，則進行各種語言的轉換，如例3，可先將日常語言轉換成符號語言，進一步轉換成圖象語言.因此在平時數學教學或學習中，要注重各種語言相互轉換的訓練，從而提高解題的效率.

（責任編輯 金 鈴）

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