讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)（上冊(cè)）第48～49頁(yè)。

目標(biāo)定位：

1.在解決一一間隔排列問題的過程中，經(jīng)歷用建模策略解決實(shí)際問題的過程，初步體會(huì)解決一一間隔排列問題的思想方法。

2.從實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法，探究一一間隔排列中兩種物體個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

3.感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)，提高解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用建模策略解決一一間隔排列問題的過程。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)問題

1.談話引入：“找規(guī)律”的“找”是什么意思？到哪里去“找”？

指出：我們到生活中去觀察、去發(fā)現(xiàn)、去探索數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

2.呈現(xiàn)情境：河岸邊的桃樹和柳樹以及路邊的電線桿和廣告牌。

提問：每幅圖上各有什么？它們是怎樣排列的？圖上沒有畫出來的都是什么？

3.提煉問題：用數(shù)學(xué)的眼光看，每幅圖中的兩種物體在排列上有什么共同點(diǎn)？

說明：兩種物體交替出現(xiàn)數(shù)學(xué)上稱之為“一一間隔”，這樣的排列就叫做“一一間隔排列”。（板書：一一間隔）

4.聚焦問題：你覺得一一間隔排列的兩種物體，它們的個(gè)數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

【從具體情境中提煉問題是建模的第一個(gè)環(huán)節(jié)。本環(huán)節(jié)由觀察河岸邊的桃樹和柳樹以及路邊的電線桿和廣告牌入手，引導(dǎo)學(xué)生思考每幅圖中的兩種物體的排列特征，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷提煉問題的過程，找到規(guī)律的基本特征，并進(jìn)一步將問題進(jìn)行聚焦，拋出課堂教學(xué)的核心問題，引發(fā)學(xué)生的思考。在提煉問題、聚焦問題的時(shí)候一般要注意以下三點(diǎn)：一是情境要盡量貼近學(xué)生生活，要能喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，為“提煉”奠定基礎(chǔ)；二是情境要有一定的開放性，為“提煉”創(chuàng)造必要的前提；三是最終要形成清晰的核心問題，便于學(xué)生研究。】

二、大膽猜測(cè)，提出假設(shè)模型

1.細(xì)化問題：以河岸邊的桃樹和柳樹為例，一一間隔排列的這兩種物體，它們的個(gè)數(shù)有怎樣的關(guān)系？

2.學(xué)生猜想：通常學(xué)生會(huì)有兩種觀點(diǎn)，一種是兩種物體的個(gè)數(shù)同樣多；另一種是其中一種物體比另一種物體多1個(gè)。

3.合作研究：可以用具體符號(hào)表示排列中間隔出現(xiàn)的兩種物體，舉例驗(yàn)證。教師提示并巡視指導(dǎo)。

4.交流匯報(bào)：指名展示自己的驗(yàn)證，并進(jìn)行說明。

5.完善假設(shè)：一一間隔排列的兩種物體，如果首尾相同，那么兩端的物體就比間隔物體要多1個(gè)；如果首尾不同，那么這兩種物體的個(gè)數(shù)就相等。

【提出假設(shè)是建模的第二個(gè)環(huán)節(jié)，也是形成模型雛形的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由于應(yīng)用建模策略解決的通常是“尚無定論”的問題，因此提出假設(shè)就顯得非常重要。要提出一個(gè)合理的假設(shè)，一般要經(jīng)歷猜測(cè)——驗(yàn)證——反思——提出假設(shè)的過程。猜測(cè)時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽地、有根據(jù)地猜測(cè)。學(xué)生認(rèn)為可能是兩種物體的個(gè)數(shù)同樣多，或其中一種物體比另一種物體多1個(gè)。猜測(cè)反映了學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，難免出錯(cuò)。此時(shí)，重要的不是得出正確的、統(tǒng)一的結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生想辦法驗(yàn)證自己的猜測(cè)。在通過操作驗(yàn)證猜想時(shí)，學(xué)生可能畫出兩種一一間隔的物體，也可能用兩種不同的學(xué)具擺出幾組一一間隔排列，還有可能是觀察生活中的間隔排列原型，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生采用多樣化的探究策略，也要讓學(xué)生體會(huì)到“畫一畫”和“擺一擺”方法的直觀和簡(jiǎn)潔。反思是對(duì)猜測(cè)、驗(yàn)證活動(dòng)的回顧與審視，是對(duì)猜測(cè)進(jìn)行糾正、改進(jìn)或完善的重要環(huán)節(jié)，是提出合理假設(shè)的保障環(huán)節(jié)。猜測(cè)往往只是假設(shè)的雛形，是有待完善的假設(shè)，唯有經(jīng)過驗(yàn)證、反思等環(huán)節(jié)，猜測(cè)才能“升格”為假設(shè)模型。】

三、拓展實(shí)例，建立成熟模型

1.提出問題：下圖中有一一間隔的排列嗎？

教師小結(jié)：生活中既有頭尾相同的一一間隔排列現(xiàn)象，也有頭尾不同的一一間隔排列現(xiàn)象，但相對(duì)而言還是頭尾相同的間隔排列比較多，因?yàn)檫@種排列給人一種對(duì)稱的、整體的、和諧的秩序美感。

2.數(shù)量判斷：上圖每組一一間隔排列中的兩種物體，哪一種多？多幾個(gè)？你是怎么判斷的？

3.滲透思想：如果一一間隔排列的兩種物體不知道具體數(shù)量，你還能判斷兩種物體的數(shù)量嗎？

引導(dǎo)學(xué)生利用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系驗(yàn)證規(guī)律。

4.小結(jié)規(guī)律：教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)間隔排列規(guī)律。

板書：頭尾相同時(shí)，兩端物體比間隔事物多1個(gè)。頭尾不同時(shí)，兩種物體個(gè)數(shù)相等。

【確立模型是建模的第三個(gè)環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)是應(yīng)用建模策略解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。這個(gè)環(huán)節(jié)既是對(duì)規(guī)律的應(yīng)用與驗(yàn)證，也是對(duì)規(guī)律的進(jìn)一步的提煉與抽象。同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般再由一般到具體的過程，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)結(jié)論的準(zhǔn)確性。】

四、應(yīng)用模型，解決問題

1.馬路一邊有25根電線桿，每?jī)筛虚g夾著一塊廣告牌，共要多少塊？

學(xué)生讀題后教師提問：“每?jī)筛娋€桿中間夾著一個(gè)廣告牌”是什么意思？讓學(xué)生明確在這里，第一個(gè)是電線桿，最后一個(gè)還是電線桿，也就是說廣告牌數(shù)要比電線桿數(shù)少1。

2.（1）一根木頭鋸3次，可以鋸成幾段？

（2）要鋸成6段，要鋸幾次？

（3）把一根木頭鋸成3段要4分鐘，鋸成6段要幾分鐘？你是怎么想的？

【應(yīng)用模型是建模的第四個(gè)環(huán)節(jié)，是體現(xiàn)建模價(jià)值的環(huán)節(jié)。讓學(xué)生應(yīng)用抽象出的一一間隔排列的規(guī)律解決電線桿、廣告牌以及鋸木頭等問題的練習(xí)，既能促進(jìn)學(xué)生掌握應(yīng)用模型解決問題的一般程序，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)已建立的數(shù)學(xué)模型的理解，又能讓學(xué)生意識(shí)到生活中一一間隔排列的實(shí)際問題還很多，加深對(duì)一一間隔排列規(guī)律結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)模型的內(nèi)化。】

五、拓展模型，深化認(rèn)識(shí)

1.游戲：按規(guī)則排隊(duì)。

（1）6名男生在講臺(tái)前站成一排，每?jī)擅猩虚g站一名女生。

（2）把這些學(xué)生按原來的順序圍成一個(gè)圓形，每?jī)擅猩虚g還是有一名女生嗎？怎樣辦？

（3）增加1名男生或減少1名女生完成排列后，討論這是什么排列？你發(fā)現(xiàn)了什么？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“圍成一圈”與“頭尾不同”這兩種情況在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一樣的，可以相互轉(zhuǎn)化；“頭尾相同”與“頭尾不同”也可通過頭尾增、減一個(gè)的方法實(shí)現(xiàn)相互的轉(zhuǎn)換。

2.（1）河堤的一邊栽了75棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲虚g栽一棵桃樹。栽桃樹多少棵？

（2）沿圓形池塘的一周栽了75棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲虚g栽一棵桃樹，栽桃樹多少棵？

3.搶答：字母A和B一一間隔排列，已知A有5個(gè)，B有幾個(gè)？

【拓展模型環(huán)節(jié)是對(duì)模型的深度應(yīng)用環(huán)節(jié)。本環(huán)節(jié)借助“按規(guī)則排隊(duì)”、“搶答游戲”等方式溝通一一間隔排列中“頭尾相同”、“頭尾不同”、“圍成一圈”（也就是封閉圖形）這三種情況的聯(lián)系和區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到線性間隔排列與封閉間隔排列之間的關(guān)系，從而建立起一個(gè)完整的關(guān)于一一間隔排列規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。】

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）