讓“活動”帶給“經驗”生長的力量

如果說，數學“基本活動經驗”是學生在從事有明確的數學目標的活動過程中產生和形成的經驗，那么很顯然的是，使學生獲得基本活動經驗的前提和核心是要提供好的活動。蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾認為數學教學就是數學活動的教學，也是數學思維的教學。這是一種將整個數學教學都看成是“數學活動”的“大活動”觀、“泛活動”觀。從現有的研究來看，數學課程標準修訂時所提出的“基本活動經驗”中的“活動”，其范圍和內涵都有所窄化，借用張天孝先生《關注數學基本活動經驗》一文的觀點，“主要是對數學材料的具體操作和形象探究活動”。這句話中，“數學材料的具體操作活動”并不難理解，而“形象探究活動”，我以為，既包含實物、圖形等具體形象，也包含著思維中、想象中的事物，即腦袋瓜中藉以進行思維、想象等活動之“隱形”形象。

有了這樣的認識，我們有必要進一步深究：什么樣的活動才是好的數學活動？好的數學活動能產生怎樣的活動經驗呢？如何讓我們的數學活動向“好的”方向發展？對這些問題的回答需要時間，更需要實踐。對一些典型案例進行分析，或許能為我們提供思考的路徑。

讓活動經驗觸及概念的本質

有這樣一則案例，從課改初一直講到現在。案例記錄的是某學生與父親回憶學校學習的一段對話。

爸爸：兒子，你今天學習了什么？

兒子：學了集合。

爸爸：你聽懂了嗎？

兒子：懂了！太簡單了！

爸爸：老師是怎么講的？

兒子：老師先讓男小朋友站起來，然后告訴我們這些男小朋友就組成了一個集合。接著讓所有的女小朋友站起來，告訴我們所有的女小朋友也組成了一個集合。最后老師讓全班小朋友都站起來，告訴大家全班小朋友也組成了一個集合。

爸爸分別指了指家里的桌子、椅子和一筐土豆問：它們能組成集合嗎？

兒子：家里所有的桌子組成的是一個集合，所有的椅子組成的也是一個集合，一筐土豆組成的不是一個集合。

爸爸很驚訝地問：為什么？

兒子：因為桌子椅子是站著的，但土豆不能站起來。

故事是虛構的，但似乎又“合乎情理”地反映了我們平時教學中的某些教學現象?；顒釉诨钴S課堂氣氛，帶給學生樂趣的同時，也夾雜著一些多余的、甚至有干擾的信息——孩子在一次次的、并非體現集合本質的“起立”活動中，產生了“能不能站起來是區分一些元素組成的是不是集合的依據”這個活動經驗。強烈的負效經驗干擾了學生對集合本質的理解。

經典的例子還有三角形穩定性的教學，老師讓學生分別拉三角形和平行四邊形木架，體驗三角形的穩定性和四邊形的易變性。熱鬧的活動、明顯的對比，學生學得高興，印象也很深刻。然而熱鬧之后再思考，卻發現學生“深刻的印象”其實只停留在使勁“拉”上——“拉”不動，就具有穩定性，“拉”得動，就“不”具穩定性。其實三角形的穩定性是指“三角形三條邊長度確定，其大小、形狀也就確定”，其對應的活動應該是讓學生用三根小棒圍不同的三角形，從而讓學生體驗三根小棒圍成的三角形，“除了姿勢不同外，形狀和大小都完全一樣”。這樣讓活動經驗明確地指向于“邊長確定，大小、形狀也就確定”這個本質，有效地避免了理解上的歧義。概念是數學的靈魂，也是學生數學學習的根基。圍繞概念本質內涵的活動所產生的活動經驗才會帶著濃濃的數學味，蘊含著無限的擴展力。

讓活動經驗觸動思維的內核

新課程改革前，我們的課堂教學大都著力于對教材提供方法的模仿與訓練，新課程改革要求不僅重視“方法的多樣化”，而且重視對多種方法的分析、比較、優化。這種變化的實質是強化對數學思維的培養，提升學生數學思考的自覺性。順應此，數學活動也應該成為數學思維的活動，讓活動經驗要觸動思維的內核。

以六年級“假設策略”一課為例，常見的教學流程是：

出示例題：五（1）班的42位同學去劃船，他們一共租用了10條船，每條大船能坐5人，每條小船能坐3人，正好每條船都坐滿。他們分別租用了幾條大船和幾條小船？

接著，組織學生先獨立思考，再小組討論、大組交流。

最后，分析比較出最優方法，重點學習：假設全班同學都坐小船，坐船的就有10×3=30人，比實際少42-30=12人。事實上，每只小船換成大船就會多坐2人，共有12÷2=6條小船換成大船，10-6=4條小船。

筆者曾對這節課做過一項調查：超過一半的同學認為，在學過假設法后，如果長時間不接觸這類題目，很容易遺忘。究其原因，學生上述學習過程其實只是停留在模仿、訓練、機械記憶層面，并未能深入到思維的里層。針對此，我的做法是：

在學生獨立思考、小組討論、大組交流時增加一個讓學生在操作中“湊”答案的體驗活動（以★為大船，▲為小船）。

學生獨立活動后，各學習小組匯報，將所有的情況有序展示在黑板上（圖略）：

大船只數10 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

小船只數10 21 12 13 14 15 16 17 18 19 10

人數 150 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30

接著組織學生帶著活動經驗比較操作題與例題的聯系——兩題都要假設大船和小船的只數，求出人數。不同的是，操作題根據假設的人數就可以求出可能的只數，而例題實際人數已經告訴了我們，而且往往與假設的人數不一致，這說明假設的大、小船的只數有問題。這時需要調整：如果求出的人數比實際人數少了，說明要用小船換大船，每換一次相差2人；如果求出的人數比實際人數多了，說明要用大船換小船——這樣調整若干次直至人數吻合。

應該說，動手操作“湊”答案，活動雖然有些土氣、原始，但充分展開的“湊答案”過程卻意蘊十足——從0開始，一組數、一組數有序地“湊”，答案逐漸浮出水面。這種由“無”生“有”、由“虛”漸“實”的“湊”的活動經驗，既蘊含著“假設法”中假設的必要性，也揭示了“假設法”中“調整”這個環節的“關門過節”——“1只大船”和“1只小船”替換就會相差2人。由此，我們可以說“假設法”是學生積足了“湊答案”的活動經驗之后的“由熟生巧”，而近乎學生本能的“湊答案”所產生的體驗和形成的思維經驗，具有“根基”的作用，即便學生一段時間忘了后，解決問題的路徑仍能由根“再生”出來。

讓活動經驗觸摸創造的萌芽

新課程標準在修訂時再次突出“培養學生創新精神和實踐能力”的改革方向和目標價值取向，東北師大史寧中校長在論及創新能力時指出：“創新能力依賴于三個方面：知識的掌握、思維的訓練、經驗的積累，三方面同等重要?！北M管我們很難直接傳遞創造的經驗，但是，數學活動應該為學生提供更多創造的機會，讓他們觸摸創造的萌芽，積淀更多的具有創造潛質和基質的活動經驗。

以“自然數兩種分類之間的關系”為例：

自然數按是不是2的倍數，可以分為奇數和偶數；而根據因數的個數，又可以分為0、1、質數、合數。同一數集的兩種不同角度的分類，使得奇數、偶數、質數、合數等數之間的關系錯綜復雜。學生在遇到諸如“所有的奇數都是質數”“所有的質數都是奇數”“所有的合數都是偶數”“所有的偶數都是合數”之類的辨析題時，很是頭疼。

對此，我們設計并組織了一次“數形結合——借助操作理解奇、偶數和質、合數之間的關系”的畫圖辨析關系活動。下圖是學生陸杰“創造”的自然數兩種分類之間的關系圖：

應該說，學生創造性地設計了直觀的形象集合圖，將知識間千絲萬縷的聯系濃縮到一張結構圖中，既有助于看出知識間的聯系，加深知識的理解，也便于知識經驗的靈活調用，有助于“活化”經驗。當然，最重要的是這種創造性活動中所積累的經驗，有如冬天里埋在雪地下的種子，春風吹來時就會生出創造的嫩芽，充滿著無限的生機。

當然，數學活動不是“哪里需要貼哪里”的狗皮膏藥，也不是“貼哪里，瘦哪里”的靈丹妙藥。需不需要實際操作？活動的成本有多大？每一次的活動能否如我們所愿能給學生留下很好的活動經驗？這些都是我們幫助學生積累活動經驗時應該全面考慮的問題。但無論如何，著力設計短小精悍、彰顯數學本質、強化數學思考、追求實踐創新的活動給學生留下“最具生長力”的活動經驗，是值得我們每一位教師持續關注并積極付諸教學改革的。

（作者單位：海安縣教育局教研室）