幫助學(xué)生積累怎樣的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

著名教育家陶行知關(guān)于人如何獲得知識(shí)曾做過(guò)一個(gè)形象的比喻：“我們要有自己的經(jīng)驗(yàn)做根，以這經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的知識(shí)做枝，然后別人的知識(shí)才能接得上去，別人的知識(shí)方才成為我們知識(shí)的一個(gè)有機(jī)組成部分。”可見(jiàn)，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要前提，是其獲得數(shù)學(xué)直覺(jué)的源泉。那么對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，什么才是可以用來(lái)做“根”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀勘疚脑囈浴胺謹(jǐn)?shù)的教學(xué)”為例，闡述我們要幫助學(xué)生積累怎樣的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、重觀察，重操作，豐富學(xué)生的表象，積累體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)

有研究表明，就智力和經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的影響程度來(lái)看，經(jīng)驗(yàn)的作用更大。孩子們的內(nèi)心世界往往不是按照定義的方式來(lái)理解的，他們更多地按照先前眼睛看到的、爾后積累在腦海中的先前經(jīng)驗(yàn)來(lái)給所學(xué)的抽象概念加以編碼的。豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是學(xué)生理解概念的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵的問(wèn)題產(chǎn)生。這里的“經(jīng)驗(yàn)”，除了從學(xué)校學(xué)習(xí)中獲得以外，學(xué)生從日常生活中獲得的經(jīng)驗(yàn)也起著非常重要的作用。事實(shí)上，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)概念大多是對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)辨別、分化、抽象、概括以后發(fā)展而來(lái)的。

學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)遠(yuǎn)不像當(dāng)初認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)那樣來(lái)得順利。這是因?yàn)椋趯W(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中，來(lái)自有關(guān)“分?jǐn)?shù)”方面的儲(chǔ)備，遠(yuǎn)不如整數(shù)那樣多。生活中，學(xué)生更多接觸到的是可以一個(gè)一個(gè)地來(lái)數(shù)的自然數(shù)，當(dāng)“1”需要再分時(shí)，人們又更喜歡用小數(shù)來(lái)表示（如商場(chǎng)里物品的標(biāo)價(jià)等）。由于缺少豐富的表象來(lái)支撐，也缺少外顯操作活動(dòng)中來(lái)自感覺(jué)、知覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)，這給學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念帶來(lái)了不小的困難。

盡管如此，教學(xué)還是得從學(xué)生所熟悉的感性材料入手，因?yàn)楦拍畹男纬蛇^(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程，毫無(wú)疑問(wèn)，辨別各種刺激模式，并在知覺(jué)水平上進(jìn)行分析、篩選、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括，是建立正確概念的第一步。既與分?jǐn)?shù)的概念相通，又存在于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)之中的，就是學(xué)生“均分”物體的經(jīng)驗(yàn)了。

分蛋糕、分蘋果，的確是生活中較好的關(guān)于“均分”的模型，因?yàn)閷W(xué)生都有過(guò)這樣的經(jīng)歷。只是生活中人們并不習(xí)慣把一個(gè)蛋糕平均分成8塊后，將其中的一塊稱為，而更多是稱為“一小塊”。但這并不妨礙學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的感知，因?yàn)閷W(xué)生從分蘋果、分蛋糕中，已經(jīng)完成了初級(jí)階段的抽象，即學(xué)生能夠明白，以前經(jīng)驗(yàn)中最小的“1”還是可以繼續(xù)分下去的，這樣分得的結(jié)果我們就得用新的數(shù)來(lái)表示了。這就把新的認(rèn)知起點(diǎn)與舊有的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)了。相比之下，有的教材從“折紙”切入，學(xué)生便不能從操作中感受到“分”的必要性，由此引入分?jǐn)?shù)多少顯得牽強(qiáng)和生硬，這是對(duì)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)缺少深入細(xì)致的考察所導(dǎo)致的。

概念的抽象往往不是一次性完成的，分?jǐn)?shù)概念的建立也不例外。我們可以從皮亞杰等人的研究成果中得到啟發(fā)：“4~4歲半的兒童能把小的正規(guī)圖形分成兩半；6~7歲的兒童能把小的正規(guī)圖形分成三份；7~9歲的兒童能把小的正規(guī)圖形通過(guò)試錯(cuò)分成六份。”皮亞杰等人的研究成果告訴我們，學(xué)生通過(guò)面積的模型來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)比較容易。依此，組織折紙、填圖等操作性活動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生向更高一層的抽象發(fā)展，亦即線段、長(zhǎng)方形、圓……，以致一個(gè)整塊的物體，都也可以像分蘋果、分蛋糕那樣均分下去，在這方面它們具有共同的屬性，這就是所謂的“二階抽象”。

較之于“連續(xù)量模型”，學(xué)生對(duì)于“離散量模型”的理解，似乎來(lái)得更為困難。因?yàn)閷?duì)學(xué)生而言，這是更高一層次的“三階抽象”。把多個(gè)物體看做一個(gè)整體進(jìn)行均分，在學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中儲(chǔ)備不多，加之整體“1”的類型并不像想象的那么簡(jiǎn)單，例如，形成分?jǐn)?shù)至少涉及以下幾種不同的類型：（1）數(shù)量剛好為5個(gè)；（2）數(shù)量在5個(gè)以上并被分成了5等份；（3）數(shù)量比5多但不能被5整除；（4）數(shù)量比1多但比5少。

日常生活并不能為學(xué)生提供這些經(jīng)過(guò)高度結(jié)構(gòu)化處理的素材，只有教學(xué)這一專業(yè)活動(dòng)才凸顯這一功能，這是教師“濃縮”了前人探索的結(jié)果，使得素材本身更具“數(shù)學(xué)味兒”，它可以避免學(xué)生走太多的彎路，耗費(fèi)太多的時(shí)間。

“幾乎所有的人不僅在思維過(guò)程中避免使用語(yǔ)言，甚至還避免使用代數(shù)符號(hào)或任何其他的固定符號(hào)，總是運(yùn)用模糊的表象進(jìn)行思考。”很顯然，學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念必須先積累大量的感官經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)，且這些體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)又具有某些相似性、共通性，然后經(jīng)由多個(gè)層次的“抽象”這一心智活動(dòng)才得以完成。而若不能以豐富的表象做支撐，概念的建立就成為無(wú)源之水、無(wú)本之木。

二、重探究，重思考，優(yōu)化學(xué)生的策略，積累方法性經(jīng)驗(yàn)

這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動(dòng)。對(duì)于行為操作和思維操作，我們不妨用“操作地思考”和“思考地操作”來(lái)界定兩者的區(qū)別。行為操作的價(jià)值取向是問(wèn)題解決，而不是僅僅為了獲取第一手的直接感受、體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，但是，探索所獲得的經(jīng)驗(yàn)一般是直接經(jīng)驗(yàn)，我們稱之為“操作地思考”；思維操作指的是在思維過(guò)程中開展活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)，即，思維操作經(jīng)驗(yàn)，比如歸納的經(jīng)驗(yàn)、類比的經(jīng)驗(yàn)、證明的經(jīng)驗(yàn)。思考的經(jīng)驗(yàn)不僅可以產(chǎn)生于邏輯地思考的過(guò)程，也可以產(chǎn)生于歸納地思考的過(guò)程，甚至產(chǎn)生于某些實(shí)驗(yàn)過(guò)程之中，我們稱之為“思考地操作”。顯然，前者側(cè)重于直接經(jīng)驗(yàn)的獲得，而后者側(cè)重于間接經(jīng)驗(yàn)的獲得。

學(xué)生對(duì)“均分”后產(chǎn)生分?jǐn)?shù)有了初步的感知，就可以安排一些帶有思維性質(zhì)的操作性活動(dòng)，如：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙和畫圖等活動(dòng)，讓學(xué)生想想和哪個(gè)大，并用涂色的方法說(shuō)明和哪個(gè)大，這樣的活動(dòng)，既有外顯操作的行為，也伴隨著內(nèi)隱的思維參與，但更側(cè)重的是操作本身，讓學(xué)生從圖像中直觀地感悟分?jǐn)?shù)的大小，獲取的直接經(jīng)驗(yàn)占據(jù)主要的成分。

顯然，不同的呈現(xiàn)方式，對(duì)學(xué)生的思維的要求是有區(qū)別的，即便是分桃子，將一只桃子進(jìn)行均分，與將一大一小兩只桃子進(jìn)行均分，對(duì)學(xué)生的思維挑戰(zhàn)就不在一個(gè)層面上。

如上圖，學(xué)生當(dāng)然可以通過(guò)“操作地思考”，尋求到解決問(wèn)題的答案。但是，更適宜的方法卻是進(jìn)行“思考地操作”，亦即，這一操作的過(guò)程可以在腦中完成，然后只要通過(guò)實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證一下就可以了，其思考的依據(jù)是，兩個(gè)部分量的相加，應(yīng)該等于整個(gè)量的。再如：小明看了一本書的，小紅看了一本書的，他們倆誰(shuí)看的頁(yè)數(shù)多？一個(gè)圖形的是□，原來(lái)的圖形是怎樣的？事實(shí)上，解決這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生如果先行實(shí)驗(yàn)，或許會(huì)對(duì)尋求問(wèn)題的正解產(chǎn)生誤導(dǎo)。比如學(xué)生用一樣大小的紙做實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停Y(jié)果只能發(fā)現(xiàn)小明看的頁(yè)數(shù)多。同樣，學(xué)生處理第二個(gè)問(wèn)題時(shí)，畫成 ，也會(huì)影響其對(duì)離散圖形的進(jìn)一步思考。不難分析，對(duì)實(shí)驗(yàn)之前的先行思考，即“思考地操作”恰恰反映了學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)的認(rèn)知水平，因?yàn)檫@種先行的思考，帶有很強(qiáng)的策略意味，是學(xué)生多次開展類似的開放性活動(dòng)后形成的心理敏感機(jī)制，屬于典型的個(gè)體知識(shí)。應(yīng)該說(shuō)，這種方法性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，顯得尤為重要，它是將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到“數(shù)學(xué)思想”境界的必要橋梁。

三、重概括，重反思，增進(jìn)學(xué)生的內(nèi)隱能力，積累“數(shù)學(xué)地思考”的經(jīng)驗(yàn)

概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒(méi)有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無(wú)法被學(xué)生掌握；沒(méi)有概括，就無(wú)法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無(wú)從談起；沒(méi)有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無(wú)法形成；沒(méi)有概括，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無(wú)從體現(xiàn)，學(xué)生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。

從前面的分析可以看出，學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的概念，大致要經(jīng)歷幾個(gè)不同的階段：首先，對(duì)已有生活經(jīng)驗(yàn)和教師呈現(xiàn)的具體事例的各種屬性進(jìn)行分化，經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來(lái)。其次，進(jìn)行類化，把概括而得的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，這既是一個(gè)概念的運(yùn)用過(guò)程，又是一個(gè)在高層次上的抽象概括過(guò)程。最后，把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已有的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級(jí)階段。

因此，教師應(yīng)該把學(xué)生對(duì)具體例證進(jìn)行分化和類化當(dāng)成概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，使學(xué)生掌握分化和類化的基本技巧，從而逐步學(xué)會(huì)自己分析材料、比較屬性，并概括出關(guān)鍵屬性，以逐步培養(yǎng)概括能力。學(xué)生概括能力的強(qiáng)弱，帶有很強(qiáng)的個(gè)性特征，是學(xué)生的一種內(nèi)隱能力。教學(xué)無(wú)法也不必讓所有的學(xué)生達(dá)到一致的水平。但是，通過(guò)傳授相關(guān)的策略，特別是，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)適當(dāng)?shù)姆此迹梢詭椭鷮W(xué)生在原有的基礎(chǔ)得到適當(dāng)?shù)奶岣摺榇耍處熞獛椭鷮W(xué)生反思他們自己在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的緘默知識(shí)，使他們學(xué)會(huì)不斷地從自己顯性的觀點(diǎn)和想法中分析自己所使用的那些緘默的認(rèn)識(shí)模式，從而不斷地提高他們?cè)J(rèn)知的水平，提高對(duì)自己的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行自我分析和自我管理的能力。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，不僅是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要渠道。如果學(xué)生在抽象出概念后能對(duì)思路進(jìn)行檢驗(yàn)和自我評(píng)價(jià)，探索成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會(huì)在更高的層次上進(jìn)行再概括，從而可以將對(duì)概念的認(rèn)識(shí)上升到理性水平，長(zhǎng)此以往，學(xué)生便學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)地思考”，使自己的思維變得條理化、清晰化、精確化、概括化，而這，便促進(jìn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

從概念本身的教學(xué)來(lái)看，我們固然希望學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)既要有我們想象的相似性、共通性，又不要有太多與概念無(wú)關(guān)的干擾。但是，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有相當(dāng)部分來(lái)自于日常的生活，而生活經(jīng)驗(yàn)的提供途徑和方式并不遵守學(xué)校教育的法則，所以在學(xué)生所獲取的經(jīng)驗(yàn)成分中，帶有相當(dāng)程度的模糊性、片面性，甚至有不少的錯(cuò)誤。學(xué)生由整數(shù)加法的經(jīng)驗(yàn)遷移而產(chǎn)生“+=”的想法，便是較好的例證。教學(xué)的任務(wù)就在：對(duì)學(xué)生既有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行篩選、整理、優(yōu)化和提升，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重新改組，以幫助學(xué)生生成新的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)上升到更高水平，讓模糊的變得清晰起來(lái)，讓片面的變得完善起來(lái)，讓錯(cuò)誤的變得正確起來(lái)，讓零散的變得結(jié)構(gòu)化起來(lái)，為此，教師要基于學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。這是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)培養(yǎng)的高級(jí)境界。

（作者單位：南京市石鼓路小學(xué)）