拓寬“變異維數”,構建分數概念

三年級上冊的“認識分數”，是學生第一次接觸分數，從自然數到分數，是學生認識上的一次質的飛躍。在教學中，我發現許多孩子對“平均分”是不在意的，常常需要教師不斷強調與提醒，這是什么原因呢？深入分析，我認為主要原因是在教學中沒能有效幫助學生建立“平均分”這一分數概念中的本質。

瑞典教育家馬登的現象圖式學教學理論認為，學習就是鑒別，學習認識事物或現象就是從對象中區分出一些主要的特征，并將注意力同時聚焦于這些特征。鑒別依賴于對差異的認識，學生所能同時經驗到的關于對象的各個方面的變異的維數直接決定了可能的學習空間。因此，我嘗試著拓寬變異維數，引導學生構建分數概念，帶著改進后的教案我走進了另一個班級。

一、通過非標準變式，突出概念的本質屬性

［片段一］動手折出

師：我們已經認識了，想不想自己動手做出一個呢？試試看，拿出課前老師發的長方形紙，先折一折，把它的涂上顏色，同桌互相說一說為什么涂色的部分可以說是長方形的？

和第一次教學相同，學生中僅出現了橫著折和豎著折兩種折法。在概念的獲得階段，給學生提供盡可能多的正例，可以使學生獲得較大的辨別空間。于是，我展示了課前準備好的斜著折的方法，追問：像老師這樣折，涂色的部分可以用表示嗎？為什么？

接著追問，引導學生深究：這幾種折法不同，為什么這些陰影部分都可以說是長方形的？

形狀和大小完全相同的長方形紙，三種不同的折法，涂色部分的形狀不同，但都可以用來表示，因為都是把這張長方形紙平均分成了2份，涂色的都是1份。這樣的非標準變式，通過變換概念的非本質屬性，突出其本質屬性“平均分”。

［片段二］創造幾分之一

1.想不想自己動手，用一張紙創造出一個幾分之一呢？

2.你想創造出幾分之一？你準備怎樣創造呢？

3.動手折一折、再涂色，表示出圖形的幾分之一。（全班分6組，2組用完全相同的長方形紙片，2組用完全相同的正方形紙片，2組用完全相同的圓形紙片。）

4.在小組里交流：你表示出了幾分之一？你是怎么表示的？

5.全班交流：

教師先找一個用圓形紙片表示出的，再提問：誰和他一樣，也是涂色表示的？

搜集學生作品中分別涂色表示長方形的，正方形的，圓形的貼在黑板上。

6.深究：這些圖形的形狀不同，為什么涂色部分都能用表示？

分數的引入，對于所分割對象的外形顯然沒有任何特定的限制：它們既可以是圓形，也可以是長方形或其他的形狀。第二次教學設計，在創造幾分之一這個環節我給全班同學提供了3種不同形狀的紙片，在學生的作品中自然地收集到不同圖形的，從而使學生在對比中發現，無論是什么形狀的紙片，只要是平均分成4份，涂色的是1份，都可以用表示。通過以上的變化讓學生更好地理解其中的關鍵——必須是“平均分”。

以上兩個片段都是在變中求不變，教師通過恰當的變化以突出其中的不變因素，從而強化“平均分”，不論是一個物體還是圖形，只要是平均分成幾份，涂色1份，都可以用幾分之一表示。

二、通過非概念變式，明確概念的外延

數學概念通常都不是孤立的，而是存在于一個由多種概念組成的概念體系之中，因此，要明確概念的外延就必須分清概念與其相關概念之間的關系，這是理解概念的前提。我在設計教學時考慮通過非概念變式與概念變式的比較，來幫助學生理解分數概念的本質屬性。

非概念變式的形式有很多種，本節課的教學中我采用的是“反例變式”，也就是我們平時所說的概念的反例，因為反例具有鮮明的直觀特征，容易引起學生的注意，也易于為學生所接受，是促進學生深刻理解概念的有效方法之一。

［片段三］下面哪個圖里的涂色部分表示的是？

讓學生逐一判斷并說明理由，這樣，通過正例和反例兩者的對照，幫助學生更好地理解這樣一點：能不能用表示涂色部分的關鍵不在于“如何分”，而是“平均分”。這正是分數概念的本質所在。

整節課的教學設計，在分數概念的習得階段，教師提供了盡可能多的特例，包括較多的正例和一些反例，使學生獲得較大的辨別空間。學生通過兩種辨別，一辨“是”與“不是”，將正反例區分開來；二辨正例特有的共同屬性，這樣較為迅速地初步抽象出分數的本質屬性。在分數概念的鞏固階段，教師充分地“變換”概念，讓學生從各個不同的側面來認識概念。這里的“變”又有兩種“變化”：一種是形變實不變，讓學生能辨“是”；另一種是實變形不變，讓學生能辨“非”。通過這兩種變化，提高學生的辨別能力，求得學生對分數概念的理性把握。這樣的設計，拓寬了學生學習空間的“變異維數”，讓學生在充分感知的基礎上脫離具體事物概括出分數概念的本質，這也是學生思維不斷深化的過程。

當然，在教學中，拓寬變異維數，教師應把握好概念習得之前與習得之后“變”的程度，那就是習得之前的變應是較易觀察的（重在初步感知），而習得之后的變應是較難辨別的（重在理性認識），這是由教學的階段性目標決定的，切不可隨意變化。

（作者單位：南京市棲霞中心小學）