關(guān)于獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)過程中形成的并在遇到某種相似情景時(shí)可以憶起的某種體驗(yàn)、方法性知識(shí)或某種觀念。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)致力于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得。本文就學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)談三點(diǎn)思考。

一、經(jīng)驗(yàn)在經(jīng)歷中獲得

《現(xiàn)代漢語詞典》對(duì)“經(jīng)驗(yàn)”是這樣解釋的：“經(jīng)驗(yàn)”有兩種詞性，作為名詞，指由實(shí)踐得來的知識(shí)或技能；作為動(dòng)詞，指經(jīng)歷，體驗(yàn)。杜威指出：“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來經(jīng)驗(yàn)進(jìn)程的能力。”這里的經(jīng)驗(yàn)，包括了經(jīng)驗(yàn)事物和經(jīng)驗(yàn)的過程兩重意義。由此來看，經(jīng)驗(yàn)以靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種狀態(tài)存在著。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）就曾指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，離不開活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的基礎(chǔ)上獲得的。沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，就談不上獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程和結(jié)果。也就是說，有經(jīng)歷，不一定有經(jīng)驗(yàn)，沒有經(jīng)歷，一定沒有經(jīng)驗(yàn)。

如，分子相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)行大小比較，分母大的分?jǐn)?shù)反而小。在教學(xué)中，學(xué)生不是要將這樣的結(jié)論熟記于胸，而是需要建立在自己經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的理解。學(xué)生可能選擇畫圖思考并說明比較大小的活動(dòng)，而這樣的活動(dòng)選擇也是源于以往畫圖解決問題的經(jīng)驗(yàn)。如果以往沒有經(jīng)歷用圖、數(shù)軸等表示分?jǐn)?shù)大小的活動(dòng)，那這里也就缺乏了畫圖的經(jīng)驗(yàn)。

再說對(duì)具體內(nèi)容的理解經(jīng)驗(yàn)的積累過程。在尚未入學(xué)的時(shí)候，不少孩子就有分東西的經(jīng)歷，他們?cè)诜謻|西的過程中，積累“分”的經(jīng)驗(yàn)，知道分的份數(shù)越多，每一份就越少。當(dāng)然，這樣的經(jīng)驗(yàn)是一種日常生活經(jīng)驗(yàn)，還不是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)，需要把這樣的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)改造。在學(xué)習(xí)除法時(shí)，學(xué)生一定會(huì)經(jīng)歷類似如下的操作活動(dòng)：12根小棒，平均分成2份、3份、4份、6份；在這樣的操作過程中，學(xué)生對(duì)“分”的經(jīng)驗(yàn)再積累，對(duì)分的結(jié)果也積累了經(jīng)驗(yàn)。在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生有畫圖表示分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，待到解決上述問題時(shí)，學(xué)生也就有了可供提升的經(jīng)驗(yàn)積淀了。綜上所述，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也正是在一次又一次經(jīng)歷的活動(dòng)中積淀、豐富的。

常常聽到長(zhǎng)輩對(duì)晚輩的告誡：我吃的鹽比你吃的米多，走的橋比你走的路長(zhǎng)。我們是否可以從經(jīng)歷的角度理解，因?yàn)殚L(zhǎng)輩的經(jīng)歷比晚輩多，所以經(jīng)驗(yàn)也就比晚輩豐富。“吃一塹，長(zhǎng)一智”，這里的“智”包含了經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)橛辛恕俺砸粔q”的經(jīng)歷，也就增長(zhǎng)了一份“智”的經(jīng)驗(yàn)。

二、經(jīng)歷了≠獲得了

學(xué)生經(jīng)歷或參與了數(shù)學(xué)活動(dòng)，并不是就能獲得充足的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。也就是說，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)，未必就獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

就不同的個(gè)體而言，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是有差異的。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是建立在學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程和個(gè)體的感覺基礎(chǔ)之上的，而學(xué)生個(gè)體之間感悟數(shù)學(xué)的水平差異較大，因而，學(xué)生之間的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有較大的差異。就某一數(shù)學(xué)活動(dòng)而言，同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生都參與其中，有的學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)比較清晰，有的則比較模糊；有的學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)比較豐富，有的學(xué)生則比較單薄。存在著這樣的現(xiàn)象，教師因教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)容量的考慮，當(dāng)部分動(dòng)手能力較強(qiáng)、思維較為敏捷的學(xué)生比較快地完成了活動(dòng)內(nèi)容時(shí)，教師也就組織全班學(xué)生從該活動(dòng)“轉(zhuǎn)場(chǎng)”到另一個(gè)活動(dòng)。顯然，相當(dāng)一部分學(xué)生只經(jīng)歷了前一個(gè)活動(dòng)的某些片段，也就不能獲得較為充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。所以，在活動(dòng)過程中，教師要關(guān)注每一位學(xué)生是否真正參與了數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程。這里還要指出的是，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)雖然是個(gè)性化的，但從學(xué)生群體的角度來看，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是很多學(xué)生在經(jīng)歷了同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)之后形成的，具有一定的共性和普適性。

就經(jīng)歷的過程而言，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展具有一定的層級(jí)性、規(guī)律性。第一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的是原初經(jīng)驗(yàn)；第二次遇到相同情境時(shí)，經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，一般稱為再生經(jīng)驗(yàn)；再次遇到類似情境時(shí)，遷移運(yùn)用先前的經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)；在形式不同、本質(zhì)一樣的新情況下，按照“模式”重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)時(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)成為概括性經(jīng)驗(yàn)；概括性經(jīng)驗(yàn)在多次調(diào)用、反思后，內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn)圖式。學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，至少需要經(jīng)歷這樣幾個(gè)階段：原初經(jīng)驗(yàn)階段；再生經(jīng)驗(yàn)階段；再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)階段；概括性經(jīng)驗(yàn)階段；再次參與多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐漸內(nèi)化為概括性經(jīng)驗(yàn)圖式階段。由此來看，經(jīng)驗(yàn)有時(shí)需要在多次類似的數(shù)學(xué)活動(dòng)的反復(fù)經(jīng)歷中獲得。經(jīng)歷了，不等于獲得了，這里所說的獲得的是指較高層次的概括性的經(jīng)驗(yàn)圖式。

如，學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算時(shí)，學(xué)生通過操作將平行四邊形剪、移、拼成長(zhǎng)方形，這一過程使學(xué)生獲得剪、移、拼的經(jīng)驗(yàn)，感受將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、將未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的過程。不過，這樣的經(jīng)驗(yàn)是非常粗糙的，難以適應(yīng)新情境中的數(shù)學(xué)對(duì)象，也就是說，在新的數(shù)學(xué)問題中不能被調(diào)用。學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算，學(xué)生往往不能憑借自己的經(jīng)驗(yàn)將求三角形的面積問題化歸成已學(xué)圖形面積的問題，因而教師組織學(xué)生通過旋轉(zhuǎn)、平移或剪、拼的操作活動(dòng)將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，在此基礎(chǔ)上，對(duì)活動(dòng)過程進(jìn)行反思、總結(jié)和交流，概括所獲得的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)梯形面積計(jì)算，學(xué)生經(jīng)歷的情境與三角形面積計(jì)算的情境幾乎相同，因而學(xué)生會(huì)把先前在三角形學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于當(dāng)下活動(dòng)中，在“還原”前一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程中，學(xué)生關(guān)于圖形轉(zhuǎn)化的方向與方式的經(jīng)驗(yàn)得到了鞏固。在學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)外顯，他們有明確的將圓轉(zhuǎn)化成已學(xué)圖形的傾向。不過，在實(shí)際教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的操作都是將圓沿著4條弦剪去4個(gè)弓形，再把4個(gè)弓形和剪出的長(zhǎng)方形相拼。這恰恰說明了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)還比較單薄，其原因也正是數(shù)學(xué)活動(dòng)不夠多樣化。從數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的角度看，學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷上升、不斷轉(zhuǎn)化的過程。事實(shí)上，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣的、多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在交流、討論與反思等活動(dòng)的作用下，他們的原初經(jīng)驗(yàn)得以改造和提煉，完成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從低層次到高層次的生長(zhǎng)。

三、經(jīng)驗(yàn)，并非總是親歷所得

對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，有的老師在認(rèn)識(shí)上存在著一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一定是學(xué)生親歷所得。親歷，是獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要方式，但不是唯一的方式。正如史寧中教授所說：“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)。”這和戴爾的“經(jīng)驗(yàn)之塔”理論是相吻合的。

以筆者20年前在一所農(nóng)村小學(xué)的一段教學(xué)經(jīng)歷為例。當(dāng)時(shí)使用的五年級(jí)數(shù)學(xué)教科書中有這樣一道題目：有一臺(tái)播種機(jī)，作業(yè)寬度1.8米。用拖拉機(jī)牽引，按每小時(shí)6千米計(jì)算，每小時(shí)可以播種多少平方千米？20年前的農(nóng)村小學(xué)生，沒有見過播種機(jī)，他們不理解題目中的“作業(yè)寬度”，他們覺得“作業(yè)”就是指他們平時(shí)做的語文作文、數(shù)學(xué)作業(yè)，怎么“作業(yè)”還有寬度？這又說明了學(xué)生在日常生活中獲得的經(jīng)驗(yàn)也許還是欠準(zhǔn)確與精致的，經(jīng)驗(yàn)是一把“雙刃劍”，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)既有積極的正面作用，也有消極的負(fù)面作用。如果今天的數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到這個(gè)問題，我們可以組織學(xué)生去實(shí)際觀察播種機(jī)播種的場(chǎng)景，可以播放一段視頻或制作多媒體課件進(jìn)行演示，從而使問題得以解決。而我，基于當(dāng)時(shí)農(nóng)村小學(xué)的條件，給學(xué)生做了這樣一個(gè)演示：先在黑板上用粉筆涂上一大片，然后手拿黑板揩:“這好比是播種機(jī)。黑板上涂的這一大片就是待播種的地。”隨即將黑板揩按在黑板上：“開始播種!”黑板揩慢慢地前進(jìn)，黑板上漸漸地出現(xiàn)了長(zhǎng)方形空白。手指空白:“黑板揩的長(zhǎng)相當(dāng)于空白部分的寬度，也就是播種機(jī)的‘作業(yè)寬度’。”教師在學(xué)生的笑聲中完成了演示，學(xué)生在笑聲中理解了“作業(yè)寬度”。

由此可見，在教學(xué)中，教師要充分整合動(dòng)手操作、板書演示等各種教學(xué)手段，適時(shí)運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，給學(xué)生提供和創(chuàng)造像“觀察性經(jīng)驗(yàn)”一類的替代性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察、模仿、想象這些替代性經(jīng)驗(yàn)中獲得類似于身臨其境的、實(shí)實(shí)在在的經(jīng)歷和體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生獲得廣泛的、豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬小學(xué)）