運動的合成與分解

　　運動的合成與分解是解決復雜運動的一種基本方法。所謂求合運動，是指求合運動的位移﹑速度和加速度。位移﹑速度和加速度均為矢量，合成和分解遵循平行四邊形法則。小船過河問題是運動合成與分解中的一個難點問題，同學們在解這類問題時，總覺得無從下手。我在教學實踐中總結了關于小船在河水中運動問題的一些解題思路和方法，以幫助同學們走出困境。
　　一、船速和水速在同一直線上的問題
　　順水和逆水行舟，是在一條直線上的運動和速度的合成，在解這類問題時，如果變換參照物，會容易得多。
　　例1：一漁人在河中乘舟逆流航行。經過某橋下時，一只木桶落入水中，半小時后才發現，即回頭追趕，在橋下游5千米處趕上。設船速一定，求水流速度。
　　解析：當漁人以桶為參照系時，即以流動的水為參照系，以桶落入水中為計時時刻，當漁人發現時，船行進了半小時，當回頭追趕時，船與桶的相對距離不變。因此在船速不變的情況下，也只需半小時，就能追趕上。前后往返時間為1小時。再看水流的速度，當桶掉入橋下水中時，在水帶動下，1小時離橋為5千米。故水速為v==千米/小時=5千米/小時。
　　二、小船過河問題
　　例2：若小船橫渡寬為d米的河流，水流速為v，船在靜水中的速度為v。①船以最短時間渡河到達對岸，求時間﹑速度和位移。②船以最短距離到達對岸，求時間﹑速度位移？
　　分析和解答：①如圖1所示，船在流水中行駛的合運動是由船在靜水中的速度和水速兩個分運動速度合成的。由合運動和分運動的等時性可知，合運動的時間和分運動的時間是一樣的。船以最短時間過河，只要判斷分運動的時間最短便可。顯然船在靜水中過河時間最短，在船速一定下，位移最短時間就最短，即垂直過岸。
　　最短時間為t=
　　此時船速為v=，方向與水平方向的夾角為tanθ=
　　沿岸漂流的位移為s=vt
　　合位移為S==，方向與水平方向夾角為tanθ=
　　不難算出，合速度的方向與水平方向的夾角和合位移與水平方向的夾角相等，當船以最短時間過河時，運動方向是一定的。
　　②最短距離即垂直距離，即合運動是垂直河岸的，即s=d。分兩種情況討論。
　　1．當船在靜水中的速度v大于水流v時，船行駛方向如圖2所示。
　　此時船速為v=
　　到達對岸的時間為t=S/v=d/v
　　不難算出，此時t>t，
　　船頭偏離垂直河岸的方向tanθ=。
　　2.船在靜水中的速度v小于水流速v時，船運動最小距離的求解方法如下。
　　以水流速v的末端為圓心，以船速v的大小為半徑作圓，然后以水速的始端為圓外一點，沿船運動的方向作圓的切線，該切線與河岸相交的線段長度即為最短距離，如圖3所示，該切線的方向就是合速度的方向（同學們可自己嘗試證明）。
　　此時船速為v=
　　船頭偏離垂直河岸的方向cosθ=
　　船的最小位移為S==
　　船過河的時間為t=
　　不難算出，此時t＞t。
　　由1﹑2討論可知，不論水速大于船速，還是船速大于水速，船過河的最短時間都是一定的。
　　例3：一人以不變的速度面向河對岸游去，游到河中間時，水的流速增大，則渡河人實際所用的時間比預定的時間（?搖?搖）。
　　A?郾增長B?郾不變C?郾減少D?郾不確定
　　解析：根據運動的獨立原理可知，B正確。
　　例4：某人劃船渡一條河，當劃行速度和水流速度一定，且劃行速度大于水流速度時，過河的最短時間是t；若以最小位移過河，需時間t，則船速v與水速v之比是多少？
　　解析：小船沿直河岸方向過河時間最短，v=①。小船沿斜上游劃船使船的合速度方向沿垂直河岸的方向，小船過河位移最短，=②。聯立①②得=。
　　例5：如圖4所示，一直河流的水速為v，一小船在靜水中劃行的速率為v，若這船在河流中航行，若船從一岸到另一岸路程s最短，河寬用d表示，則s和d的關系如何？
　　解析：若v＜v，小船沿斜上游方向劃行，使合位移方向垂直與河岸，則s=d。當v＞v時，要使小船過河位移最小，小船的劃行方向與水流速方向成θ角且與合運動方向垂直，如圖4可知，cosθ==，則s=d。