函數方程問題的一些初等解法

　　摘 要： 函數方程問題近年來多次出現在高考和高中數學競賽試題中，而解函數方程是比較難的數學問題，本文通過分析一些簡單函數方程的初等解法，包括：換元法、遞歸法、假設論證法、待定系數法、賦值法及構造法，并結合具體實例說明解函數方程問題的關鍵，對高中函數方程問題的教學和高考復習有一定幫助。
　　關鍵詞： 函數方程 定義 解法
　　
　　美國數學教師協會（NCTM）曾指出：“解題是80年代學校數學的重心。”1989年4月NCTM在其出版的《中小學課程及其評量標準》中第一條更指出“數學即解題。”因此，自20世紀80年代以后，數學解題活動成了各國數學教育的重心，而數學解題相關的研究也開始愈來愈盛行。當然，初等數學中的相關解題研究也備受矚目。自函數方程問題在中學數學競賽中出現以來，其相關的解題研究也常常受到數學工作者的青睞，而其中最吸引人的當屬函數方程解題方法研究。函數方程問題是一個十分古老，又是分析學中至今尚未成型的問題之一，很少有此類問題的一般解法。函數方程問題從“最早出現在競賽試題中”到“在競賽試題中占了一席之地”再到“出現在高考題中”，其解法也越來越豐富多樣，下面對其初等解法作一些簡單探討。
　　一、函數方程的定義
　　在研究各種函數時，許多函數的定義都可表示為某一函數方程。例如，用f（-x）=f（x）定義偶函數，用f（-x）=-f（x）定義奇函數，用f（x+T）=f（x）定義周期函數，等等。我們將表示某一函數類或某一函數所具有的一定性質的等式叫做函數方程。簡單地說，含有未知函數的等式叫做函數方程。
　　二、函數方程的解法
　　下面通過例題給出幾種解函數方程的初等方法。
　　1.換元法
　　換元法是將函數方程中的變量進行適當的換元，得到一個新的函數方程，再與原函數方程構成一個方程組，然后解此方程組就可求出原函數方程的解。
　　換元法的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
　　例1：設函數f：{x|x≠0、1，x∈R}→R，且滿足f（x）+f（）=1+x①，求f（x）。
　　解：令=y，有x=，代入①得f（）+f（y）=，即f（x）+f（）=②，
　　令x=，代入①得f（）+f（）=，
　　即f（）+f（）=③，
　　由①+②-③，得f（x）=，經驗證，f（x）=符合方程為所求。
　　這道題來源于美國普特南數學競賽試題，看似復雜的問題，用換元法卻可以迎刃而解。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注意新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，需通過驗證來證實。
　　2.遞歸法
　　由自然數的函數組成的方程用換元法能夠有效解決，但也有失效的時候，例如由斐波契那數列得到的函數方程：
　　f（n+2）=f（n+1）+f（n），且f（1）=1，f（2）=1
　　如果分別令