要到抽象中

　　函數是初中數學知識體系中重、難點之一，學生在學習函數的時候往往面臨各種困難，如學習方式不對，學的內容繁多，便無法融會貫通，也就達不到教學目的，還會影響到學生對數學學習的信心。根據初中學生的心理和思維特點，采取從感性到理性、從形象到抽象的教學方式，就可培養學生解決問題的能力。
　　1.借助模型，弄清概念，明白學習的目的與意義
　　教材給出函數的定義是：存在一個自變量與一個因變量，當任給自變量一個值時，因變量都有唯一的值與之對應，那么這個因變量就叫做這個自變量的函數。函數的定義揭示了自變量與函數之間的關系，但是太抽象了，對于將學習建立在感性認識基礎上的初中學生而言，無法真正地理解函數的意義。所以可以借助教具，幫助學生直觀地理解函數的實際意義。
　　在法國人把函數稱為BLACKBOX——黑匣子。“函數=黑匣子”是什么意思呢？我們看完以下的分析后就更易把握住函數的實質。
　　教具：一個黑色盒子，盒子的兩側分別設置兩個口，一個出口，一個入口，再制作幾個圓形的卡片，卡片的正面寫1、2表示一元錢、兩元錢等各種不同的幣值，在卡片的背面畫上相應的物品，如漢堡、可樂等。
　　試驗：把一元錢的自制卡片從入口輸入后，它會從出口滾出來，可是當它出來時顯示的是卡片背面的物品，例如一瓶可樂。教具的演示引起了學生極大的興趣。再取一張3元卡片輸入黑匣子，從里面滾出來另一件物品，學生很好奇，想搞明白黑匣子里究竟藏了什么秘密。
　　提問：如果再投入一個5元的卡片，會出來什么物品？之后老師總結：在沒有看到出來是什么物品時誰也不知道會發生怎樣的變化，但是可以確定的是：必須投入一張卡片，才會有一個物品出來；如果投入不同的卡片會得到不同的物品。因此物品是隨著卡片的變化而不同的。這一實驗揭示出出口與入口的“變”性，而且出口會因入口的變而變。
　　再演示另一試驗：在另一組硬幣卡片的正反面分別寫上1，2；2，4；3，6等數組。老師演示兩次后學生很快就猜出投入正面是3的硬幣時出來的結果一定是6了。這一試驗揭示，有些變化我們知道它是怎樣發生的，因此，可以控制它。
　　通過兩次試驗的對比，讓學生明白生活中存在許許多多因變而變的例子，就像函數中的自變量與因變量，自變量是輸入的數，因變量是輸出的數，因變量隨自變量而變，而且輸入一個自變量只能得到一個因變量，它們之間的這種關系就是函數。因此，函數就是“關系”。學生通過教具的模擬很感性地意識到函數就是關系的本質。在教學過程中學生還舉出了許許多多的“黑匣子”的例子。其次，借助教具的演示也讓學生明白自變量與因變量的關系有些是明確的，如試驗2中的2倍關系，而更多的關系卻是不明確的，有待我們去研究發現。
　　理解了函數的定義，對于函數的三種表示形式：解析式、列表、圖像，用不同的方式去表現，就不難理解了。
　　2.數形結合，體會代數與幾何的相互統一
　　形成函數概念后，要能形象理解概念并解決函數問題，就要借助笛卡爾的平面直角坐標系。
　　笛卡爾把物質運動的概念作為自己科學的哲學基礎后，把運動也帶進了數學。在“幾何學”里，笛卡爾給出了字母符號的代數和解析幾何的原理，那就是通過引進坐標系，使得能用方程表示幾何形狀和解析的依賴關系。
　　2.1借助平面直角坐標系，弄清常量與變量的作用。
　　例如，一次函數y=kx+b中，體現的是因變量y與自變量x之間的“關系”，它們之間的“關系”如何變化，由常量k與b來決定。
　　在平面直角坐標系中，y=kx+b的圖像就是一條直線，這條直線可以看成由無數個點組成，也可以看成由一個點沿著直線的方向慢慢爬動而成，而點的坐標表示成（x，y），因此，解析式中的x、y是變量，它會隨著點的位置的變動而不同。
　　在平面直角坐標系中，可以作出許多不同位置的直線，是因為k與b的不同，k決定直線的走勢，b體現直線與y軸的交點位置。
　　又如，二次函數y=ax+bx+c中決定y與x變化關系的常量有a、b、c三個，a決定函數的開口方向與大小，b、c分別在橫向與縱向上決定了圖像的位置。
　　當對每個常量的作用都清晰時，才會在應用中關注常量的變化，幫助問題的解決。
　　2.2從不同角度看待函數，體會幾何與代數的統一。
　　函數與方程可以看成同一個式子從不同的視角去看待。
　　例如，y=3x+2，從函數的角度看它，它是一次函數，一條穿越一、二、四象限的直線，從方程的角度看它，它是一個二元一次方程，解是滿足方程的任意一對x，y的值，這樣的值有無數對。直線是無限延伸的，由無數的點組成，這就與二元一次方程的無數對解統一在一起了。又有一式：y=-x+2，那么兩直線的交點（0，2）就是方程組y=3x+2y=-x+2的解x=0y=2所表示的點的坐標，體現了代數與幾何的統一。
　　又如，y=ax+bx+c與橫軸的交點個數可以與方程ax+bx+c=0的解的個數統一起來，只要判斷△=b-4ac的符號，就可以得出圖像與x軸交點個數的情況。一旦這個問題搞清楚，那么y=ax+bx+c與任意一條平行于x軸的直線y=m的交點個數情況都能用方程ax+bx+c-m=0的△=b-4a（c-m）來判斷了。
　　由于借助平面直角坐標系，我們能很好地把函數問題（解析式），通過圖形的演示加深理解，進而解決；將幾何的問題通過代數的方式得以解決，也就將代數與幾何問題既相互轉化又相互統一了。
　　3.數形結合，將抽象的問題形象化，解決實際問題
　　例如一道綜合應用題：用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化。
　　（1）當l是多少時，場地的面積S最大？
　　（2）l取何值時，S>100？
　　這是一道常規的二次函數最值問題，矩形的長是固定的60m，形狀會發生改變，形狀的改變直接影響長與寬的改變。而面積隨著長、寬的變化而變化。因此選定長或寬中之一作為自變量，面積是因變量，要知道因變量是如何隨自變量而變化的就必須建立兩者之間的函數關系。所以：第一步建立函數關系：s=l（30-l）=-l+30l（0＜l＜30）。可以看出S與l是二次函數關系。第二步作出函數圖像，通過觀察得到面積在函數圖像的頂點取到最大值，即當l=15時，S=225。
　　（3）如果直接令S>100，則-l+30l＞100，這是一個二次不等式，學生不會解，但可以借助圖像，先找到S=100的點，再找出S>100的圖像范圍，就能得出答案了。
　　在整個函數的教學過程中，通過建立直角坐標系這座代數與幾何之間的橋梁，可以解決數到形的轉化，通過形的思維辨析，使函數抽象的問題形象化。