“數形結合”是簡縮思維的銳器

　　數形結合是根據數量與圖形之間的關系，認識研究對象的數學特征、尋找解決問題思路的一種數學思想。
　　數形結合思想方法是高考重點考查的思想方法之一，近年來高考試題（特別是客觀題）能夠用此方法解決的均占相當的比例。其特點是形象、直觀、快捷。因此是高考備考中應予以足夠重視的數學解題思想方法。
　　題1：如果x，y滿足x-y＞0x+y＞0，則有（）。
　　A.x+y+2x＞0B.x+y+2x＜0
　　C.x+y-2x＞0D.x+y-2x＜0
　　分析：若從不等式性質入手解決，本題為難題；換一個視角思考，若從圖形上分析條件與選項意義，本題不難解決。
　　解：作出可行域：x-y＞0x+y＞0
　　而x+y+2x=（x+1）+y-1中（x+1）+y表示可行域內點（x，y）到A（-1，0）距離的平方，易知（x+1）+y＞1，故x+y+2x＞0，選A。
　　評注：本題實質上可視為“線性規劃問題”，本題還可變為：不等式x+y-4x＜0成立的充分不必要條件是（）。借助數形分析，選D。
　　題2：已知實數x，y滿足（x-2）+2y=3，則最大值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖。
　　分析：本題解法較多，但從數形上分析可使問題解決流暢、簡潔。
　　解：（x-2）+2y=1可化為：（x-2）+（y）=3，即（x-2）+y′=3
　　∴=·
　　可視為圓（x-2）+y′=3上點與原點連線的斜率。
　　結合圖2，知（）=
　　∴（）=
　　評注：在數形結合求解時，將橢圓方程（x-2）+2y=3化為圓方程（x-2）+（y）=3去理解是數形結合求解的關鍵。
　　題3：設函數f（x）=2-1，x≤0x，x＞0，若f（x）＞1，則x的取值范圍是（?搖?搖?搖?搖）。
　　A.（-1，1）B.（-1，+∞）
　　C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
　　分析：按分段函數進行處理，因為f（x）＞1，
　　當x≤0時，2-x-1＞1，2-x＞2，
　　∴x＜-1；
　　當x＞0時，x＞1，∴x＞1
　　綜上，x的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）。
　　本題若作出函數f（x）圖像，就能回避分類討論。
　　解：首先畫出函數y=f（x）與y=1的圖像（圖3），結合圖像，關注選項特征，易得f（x）＞1時，所對應的x的取值范圍，選D。
　　評注：對于與分段函數相聯系的相關問題（如不等式、最值），均可借助圖像法簡化分類，優化解題。
　　題4：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ（+），λ∈［0，+∞），則點P的軌跡一定通過△ABC的（）。
　　A.外心B.內心C.重心D.垂心
　　分析：解決本題的關鍵在于注重向量語言的解讀。
　　解：由=+λ（+）得=λ（+）而，為單位向量，故′=+與∠BAC的高平分線同向，又λ（0，+∞），∴與∠BAC角平線同向（圖4），故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，選B。
　　評注：從圖形上解讀向量式的幾何意義題是理解向量語言的常用方法，若將條件變為：動點滿足=+λ（+），按同樣分析，選C。
　　題5：已知二次函數y=f（x）的圖像以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數y=f（x）的圖像與直線y=x的兩個交點間的距離為8，f（x）=f（x）+f（x）。
　?。?）求函數f（x）的表達式；
　?。?）證明：當a＞3時，關于x的方程f（x）=f（a）有三個實數解。
　　分析：由（1）f（x）=x+，∴方程f（x）=f（a）即為x+=a+，若去分母則得到關于x的三be66e3a503bf647fb0a2a94c836259ef次方程，從“數”上處理較難，若能從“形”上考慮，“數形結合”，即可找到解決問題的方案。
　　解：（2）由f（x）=f（a）得x+=a+，即=-x+a+，在同一坐標系內作出f（x）=和f（x）=-x+a+的大致圖像（圖5），易知f（x）與f（x）在第三象限只有一個交點，即f（x）=f（a）有一個負數解。
　　又f（2）=4，f（2）=a+-4。
　　當a＞3時，f（2）-f（2）=a+-8＞a-8＞0。
　　∴當a＞3時，在第一象限f（x）的圖像上存在點（2，f（2））在f（x）圖像的上方。
　　∴f（x）與f（x）在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數解。
　　因此，方程f（x）=f（a）有三個實數解。
　　評注：關于方程根的性態問題，使用數形結合處理比較方便、直觀。
　　綜上，從內容上講，可以用數形結合思想方法解決的問題，主要有以下幾類：
　?。?）與方程、不等式有關的問題；
　　（2）與函數性質有關的問題；
　?。?）與分段函數相關問題；
　?。?）向量問題；
　　（5）與解析幾何有關的問題，如線性規劃問題、最值問題等。
　　反思：在使用數形結合方法時，要注意以下兩點。
　　（1）數形結合屬簡縮思維模式，常用來解選擇題、填空題，若用來處理解答題，要特別注意說理的嚴密性，如題5中兩函數在第一象限的交點的說明。
　?。?）在數形結合時，要注意對函數的優化選擇，達到簡捷、容易的目的。
　　如題2中將（x-2）+2y=3轉化為（x-2）+（y）=3處理，又如題5中將方程x+=x+a+轉化為=-x+a+處理，就是這一意義。