運用之妙 存乎一心

一、案例

師：今天老師想請小朋友們來幫我解決一個問題. （出示題目）

學校準備舉行一場別開生面的運動會，三（１）班有７名同學報名參加了跳繩比賽，５名同學參加踢毽子比賽. 三（２）班、三（３）班也分別派出了７名同學參加跳繩比賽，５名同學參加踢毽子比賽. 請問：三年級一共有多少人參加了跳繩和踢毽子比賽？

學生拿出紙和筆認真計算. （很快一只只小手舉了起來，個個臉上寫滿了自信. ）

師：誰愿意上來板演？

生 １：（５ ＋ ７） × ３

＝ １２ × ３

＝ ３６（人）

師：大家有不同意見嗎？

生２：我還可以這樣算：５ × ３ ＋ ７ × ３

＝ １５ ＋ ２１

＝ ３６（人）

師：你們認為這樣做對嗎？

生紛紛點頭表示贊同.

師：你們有沒有調查過到底是那些人參加了比賽呢？（師出示了三（１）班參賽同學名單. ）

三（１）班參加跳繩比賽：李明、王紅、陸小芳、吳燕、姚婷婷、范佳明、成棟.

參加踢毽子比賽：史玉明、張李權、王浩、陸笑笑、江楠.

師：這是一份三（１）班學生參賽情況的名單，三（１）班有多少名同學參加了這兩項比賽.

生１：５ ＋ ７ ＝ １２（人）.

師：好，接著我們再來看一下三（２）班學生的參賽名單.

三（２）班參加跳繩比賽：陳棟、吳佳佳、成俞佳、馬益敏、張昊天、何楊、周豪亮.

參加踢毽子比賽：姜蕭裴、吳佳佳、姜添宇、何楊、馬益敏.

生仔細觀察（這時學生才意識到剛才的答案是不完善的）

師：發現了什么沒有？

生１：我發現吳佳佳、何楊這兩人不光參加了跳繩比賽，他倆還同時參加了踢毽子比賽.

生２：不對，還有馬益敏也重復了，所以有３個人同時參加了兩項比賽.

師：是呀，小朋友們觀察的真仔細. 那么三（２）班有多少人參加了比賽？并說明理由.

生１：我認為應該這樣做：５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ３ ＝ ９（人）.

因為有三人重復了，所以為了避免重復還要減去３人.

生２：我還可以這樣做：吳佳佳、何楊、馬益敏這三個人出現了兩次

所以，參加踢毽子比賽的人數我就當作兩人來計算：７ ＋ ２ ＝ ９（人）.

師：兩個人都說得有道理. 下面是三（３）班學生的參賽名單. （出示名單）

三（３）班參加跳繩比賽：姜小宇、趙鵬程、陳玉樹、周一凡、李秋杰、姜子逸、唐金金.

參加踢毽子比賽：周凡、李秋杰、趙鵬程、姜子逸、陳玉樹.

師：三（３）班有多少人參加了這兩項比賽？

生：有７人. ５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ５ ＝ ７（人）.

生：還可以直接寫７人. 因為參加跳繩比賽的７個人當中已經完全包含了踢毽子的５個人.

師：這樣算來三年級一共有多少人參加了這兩項比賽？

生：是１２ ＋ ９ ＋ ７ ＝ ２８（人）.

師繼續追問：這道題還有其他答案嗎？

生１：如果三（１）班也重復一人的話，２８還要再減去一人等于２７人．

生２：如果三（１）班踢毽子的人數和跳繩的人數完全重合，就是２８減去５人等于２３人.

生３：如果三個班踢毽子的人數都和跳繩的人數完全重合，那么我應該從剛才算到的２３人里面再減去２等于２１人. 師：有比這更小的答案了嗎？

生：這個數是最小的了，因為三個班踢毽子的人數已經完全和跳繩的人數重合了，不可能再少了.

師：也就是三個班參加比賽的人最少共有２１人，那么最多會是多少人呢？

生：假如一個人也不重復的話，就是我們一開始算到的答案，最多是３６人.

師：看來這道題的答案還真多呢？到底有多少個呢？

生：大于等于２１人小于等于３６人這個范圍之內都行.

師：小朋友們真愛動腦筋！

……

二、解讀

集合的教學一般在初中涉獵，高中較為全面的講解，現在將這一內容挪至小學是一種大膽嘗試. 讓我想起鄭毓信教授在一次講座中的真實舉例：２０世紀６０年代，一個數學家的女兒由幼兒園放學回到了家中，父親問她今天學到了什么？女兒高興地回答道：“我們今天學了‘集合’. ”數學家覺得要學習這樣一個高度抽象的數學概念，女兒的年齡實在太小了，因此就關切地問道：“你懂嗎？”女兒肯定地回答道：“懂！一點也不難. ”“這樣抽象的概念會這樣容易懂嗎？”聽了女兒的回答，作為數學家的父親仍然放不下心，因此就追問道：“你們的老師是怎么教你們的？”女兒回答道：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教師問全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答復. ”這位幼兒教師的教學方法沒有問題，深入淺出地道出了集合的概念，隨后的一問卻讓人深思. 父親就決定用以下問題作最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合？”遲疑了一會兒，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！”

在本節課中學生對集合的理解是否也止于此呢？顯然不是，教師通過架設問題讓學生在解答問題過程中不斷充實條件，制造一個個認知沖突，明晰集合中重復的對象，思維由表面結構逐步邁向縱深結構.

三、啟示

學生是主動的參與者，他們能感悟、頓悟，作為教師要做到的就是“運用之妙，存乎一心. ”因為我們給學生的不是簡單的物質傳遞，不是給什么就擁有什么的簡單能量守恒，在教學中只有經過師生智慧交融的化學反應，學生才能真正的有所獲，可能是知識，更多的是能力，這樣的教學不再是量的疊加甚至超越指數運算，這不就是我們所追求的教學境界嗎？用心思考每個問題，用心做好教育.