旋轉(zhuǎn)在數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用

在平面內(nèi)把某圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角. 旋轉(zhuǎn)變換是平面幾何里的最基本的變換之一，能夠真正掌握并能熟練運(yùn)用，在解決有關(guān)問題時(shí)，就會(huì)感覺無比輕松了. 例如：

一、三角形中的旋轉(zhuǎn)

如圖１，正方形ＣＤＥＦ內(nèi)接于Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＥ ＝ ３，ＢＥ ＝ ４，求圖中陰影部分的面積.

思路 如圖２，正方形ＣＤＥＦ中，ＥＤ ＝ ＥＦ，∠ＤＥＦ ＝ ９０°，若把△ＥＡＤ繞點(diǎn)Ｅ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０°，使ＥＤ和ＥＦ重合，∠ＡＥＤ旋轉(zhuǎn)到∠ＧＥＦ的位置，此時(shí)△ＡＥＤ和△ＧＥＦ重合，且△ＧＥＢ為直角三角形，則圖中陰影部分的面積就等于Ｒｔ△ＧＥＢ的面積，即陰影部分的面積為６．

已知：如圖３，等邊三角形ＡＢＣ中，Ｄ為形外一點(diǎn)，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分別在ＡＢ，ＡＣ上，且∠ＥＤＦ ＝ ６０°，求證：ＢＥ ＋ ＣＦ ＝ ＥＦ．

思路 如圖４，ＤＣ ＝ ＤＢ，∠ＣＤＢ ＝ １２０°，若把△ＤＣＦ繞點(diǎn)Ｄ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)１２０°，與△ＤＢＧ重合，由等邊三角形ＡＢＣ中，Ｄ為形外一點(diǎn)，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ可知，∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，故∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，即∠ＤＢＧ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，從而點(diǎn)Ｇ，Ｂ，Ｅ共線，ＧＥ ＝ ＢＥ ＋ ＢＧ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ，故只需再證明ＧＥ ＝ ＥＦ即可. 由旋轉(zhuǎn)知ＧＤ ＝ ＤＦ，∠ＧＤＥ ＝ ∠ＧＤＢ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＦＤＣ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ６０° ＝ ∠ＥＤＦ，又ＤＥ為公共邊，所以△ＧＤＥ ≌ △ＦＤＥ，得ＥＧ ＝ ＥＦ，于是命題得證．

二、正方形中的旋轉(zhuǎn)

已知：如圖５，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分別是ＣＤ，ＢＣ上的點(diǎn)，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，

求證：ＢＦ ＋ ＤＥ ＝ ＥＦ．

思路 如圖６，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ， ∠ＤＡＢ ＝ ９０°，把Ｒt△ＡＤＥ繞點(diǎn)Ａ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０°，與Ｒt△ＡＢＧ重合，此時(shí)∠ＡＢＦ ＝ ∠ＡＢＧ ＝ ９０°，從而點(diǎn)Ｇ，Ｂ，Ｆ共線，ＧＦ ＝ ＢＦ ＋ ＢＧ ＝ ＢＦ ＋ ＤＥ，故只需再證明ＧＦ ＝ ＥＦ即可. 由旋轉(zhuǎn)知ＡＧ ＝ ＡＥ， ∠ＧＡＦ ＝ ∠ＧＡＢ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ４５° ＝ ∠ＥＡＦ，又ＡＦ為公共邊，所以△ＧＡＦ ≌ △ＥＡＦ，得ＧＦ ＝ ＥＦ，于是命題得證．

已知：如圖７，點(diǎn)Ｐ為正方形ＡＢＣＤ內(nèi)一點(diǎn)，ＰＡ ＝ １，ＰＢ ＝ ２，ＰＣ ＝ ３，求∠ＡＰＢ的度數(shù)．

思路 如圖８，正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝ ＢＡ，∠ＣＢＡ ＝ ９０°，若把△ＢＣＰ繞點(diǎn)Ｂ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０°，與△ＢＡＥ重合，則△ＰＢＥ為等腰直角三角形，∠ＢＰＥ ＝ ４５°，且ＢＥ ＝ ＢＰ ＝ ２，從而求得ＥＰ ＝ ２■，在△ＡＰＥ中，由勾股定理的逆定理可知∠ＡＰＥ ＝ ９０°，所以∠ＡＰＢ ＝ ４５° ＋ ９０° ＝ １３５°．

三、圓中的旋轉(zhuǎn)

已知：如圖９，Ｐ是等邊三角形ＡＢＣ的外接圓的弧ＢＣ上任一點(diǎn)，求證：ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．

思路 如圖１０，△ＡＢＣ是等邊三角形，ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＡＰ ＝ ∠ＢＣＰ，把△ＢＰＣ繞點(diǎn)Ｂ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)６０°，ＢＣ和ＢＡ重合，∠ＢＣＰ旋轉(zhuǎn)到∠ＢＡＤ的位置，同時(shí)△ＢＰＤ也為等邊三角形，此時(shí)ＰＤ ＝ ＢＰ，ＡＤ ＝ ＰＣ，所以ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．

有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題遠(yuǎn)不止這些，這里就不一一列舉. 由以上問題的解決可以看出：從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來觀察、認(rèn)識、處理圖形，利用旋轉(zhuǎn)思想解決有關(guān)問題確實(shí)有很大的優(yōu)點(diǎn). 教學(xué)中如果能讓學(xué)生認(rèn)識到這一點(diǎn)，就能更有效地提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.