從特殊到一般

【摘要】 本節課的教學案例設計沒有使用現代教育媒體，依托傳統教學模式，又有所突破，通過一個問題的提出來引出多個具有挑戰性的問題，培養學生提出有意義的問題的能力，從特殊到一般綜合運用所學的數學知識，給出猜想，進行推理論證，拓展延伸知識．感受解決問題的策略的多樣性和多種數學思想方法的重要性．從生活中熟悉的問題入手，激發學生在生活中感受數學、發現數學的能力，真正體現了學數學用數學．

【關鍵詞】 矩形；面積；周長

本節課是繼二次方程、方程組、不等式等知識學完之后的綜合運用．引導學生逐步思考一個個看似簡單但又具有挑戰性的問題．本節課是一個開放性、研究性的課題，主要意圖不在于回答具體問題，而是提供一個思考、探索的平臺．

問題 任意給定一個矩形，是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的２倍．

師：我們先考察一些特殊的情形．

例如：已知矩形長和寬分別為２和１，結論會怎樣呢？

生１：設新矩形的長為ｘ，則寬為６ － ｘ．列表得：

ｘ（６ － ｘ） ＝ ４.

解得 x = ■ = 3 ± ■.

即長為 3 + ■，寬為３ － ■.

生２：設新矩形的長為ｘ． 列表得：

ｘ ＋ ■ ＝６.

可解得長為３ ＋ ■ ，寬為３ - ■.

生３：設新矩形的長為ｘ，寬為ｙ．列表得：

ｘｙ ＝ ４，２（ｘ ＋ ｙ） ＝ １２.

可解得長為３ ＋ ■ ，寬為３ - ■.

活動說明 傳統的教學模式仍然有很強的生命力，本節課沒有選擇現代媒體進行教學．學生都選擇了用列表的方式來理解題意，這樣思路條理清晰，一目了然．他們分別用一元二次方程、分式方程、二元二次方程組來建模解決實際問題，體現解題方法的多樣性．構建數學問題的實際模型，從特殊問題入手，進一步提高學生的數學建模能力．

師：當矩形長和寬分別為３和１時呢？

生４：我猜想已知矩形長和寬為３和１，也可以找到一個矩形，使它的周長和面積是已知矩形的２倍．驗證如下：

設新矩形的長為ｘ，則寬為８ － ｘ．列表得：

ｘ（８ － ｘ） ＝ ６.

解得長為４ ＋ ■ ，寬為4 - ■.

師：當矩形長和寬分別為４和１時呢？

生５大喊：存在，長為５ ＋ ■，寬為５ － ■．

學生們驚訝：怎么算得這么快？

生５漲紅臉：我發現新矩形的長 ＝ 原矩形的長 ＋ 寬 ＋ 矩形對角線，新矩形的寬 ＝ 原矩形的長 ＋ 寬 － 矩形對角線．

活動說明：真是一語驚醒夢中人，先是極其的安靜， 然后他們紛紛用各自的方法檢驗結論的正確性，最后是不約而同的一片掌聲，同學們發出由衷地贊嘆和羨慕．平時愛思考的生５得到了極度的滿足和認同．課堂氣氛達到了高潮．也體現了由特殊到一般的思想方法，自主探究的數學學習精神．同學們發現自己費了很多的運算尋求的答案可以這么輕易地得到，啟發他們去思考．

師：當矩形長和寬分別為ｎ和１時呢？

生６：我用剛才的方法得到長為ｎ ＋ １ + ■，寬為ｎ ＋ １ - ■． 通過驗證是正確的．

師：生５的結論只是猜想，由特殊的例子得到的，如何去說明他的結論的正確性？

生７：設矩形長和寬分別為ｎ，ｍ時

ｘ［２（ｎ ＋ ｍ） － ｘ］ ＝ ２ｍｎ.

ｘ２ － ２（ｎ ＋ ｍ）ｘ ＋ ２ｍｎ ＝ ０.

ｘ ＝ ｎ ＋ ｍ±■.

長為ｎ ＋ ｍ + ■，寬為ｎ ＋ ｍ - ■.

所以，任意給定一個矩形，一定存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的２倍．

活動說明 層層推進的問題中，逐步展開．學生學會由特殊到一般，由易到難的解決問題，啟發學生發現更具一般性的結論，尋求解決問題的方法．激發學生求知欲、探究的欲望，拓展學生思維空間．這幾個問題的提出到驗證的過程的確具有挑戰性，學生創造性思維得到進一步鍛煉和發展．

師：同學們通過本節課的學習，有何收獲？

生１：任意給定一個矩形，存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的２倍．

生２：這里求出的矩形長與寬是帶根號的數，應該是無理數．

生３：不一定，如原矩形的長與寬為３，４，則新矩形長是１２，寬是２

生４：我發現這里滿足關系的新矩形與原矩形中，新矩形的長比原矩形的長大，但寬卻比原矩形的寬短．

易得ｎ ＋ ｍ ＋ ■ ＞ ｎ.

而ｎ ＜ ■，

∴ ｎ － ■ ＜ ０，

∴ ｍ ＋ （ｎ － ■） ＜ ｍ，

即ｍ ＋ ｎ － ■ ＜ ｍ.

生５：我發現滿足關系的原矩形的長與寬為ｎ，ｍ，而新矩形的長ｎ ＋ ｍ ＋ ■， 寬ｎ ＋ ｍ － ■． 可以畫出下面的兩個圖形：

新矩形只是面積和周長大，并不是它的長與寬都增大了，實際上長增大，寬減小了．

生６：我知道研究問題時，可以先從一些特殊的、簡單的問題入手，尋找解題的方法和思路，再得到一般的規律．

活動說明 學生可以反思自己的思維過程，自主建構知識，進一步提高認識．通過實際畫圖來加深對知識的理解，化抽象為具體，幫助學生形象的理解、記憶．學生的回答有很多的閃光點．給我很多的啟發，體現出不同的學生有不同程度的發展．學生在數學探究活動中體驗學數學用數學的快樂．

教學反思

本節課沒有使用多媒體進行教學，備課時對本節課的教學內容很擔憂，因為問題大，內容多，牽涉到的知識范圍廣，應用性強，怕上不好，所以做了很多的準備．當本節課上完一顆懸著的心才放下來，學生參與熱情之高出乎我的預料．

１. “問題串”來激發學生的探究意識

用“問題串”激發出潛在的創造力，加深對數學的理解，逐步形成創新意識．問題都具有一定的挑戰性．通過建立數學模型，用所學知識解決現實問題，從而使自己獲得更大的成功，形成良性循環的學習．以一些開放題激活學生的創造力，有意識地培養學生的猜想和思考驗證能力，形成學生縝密的思維．

2. 教學過程中教師充分放手讓學生自主探究

學生是課堂真正的主人，教師是課堂教學的組織者，合作者，努力啟發學生的思維和表達．體現師生的平等關系，建立融洽和諧的學習環境，充分體現學生的自主性、主體性地位，讓學生真正參與到課堂教學中去，在運用知識解決問題時，促進了學生的認知結構進一步完善．學生對每一個問題充滿了強烈的好奇心，課堂氣氛活躍，既有大膽猜想和論證，又能體現出從特殊到一般的數學思想，數形結合的思想，讓他們初步有終身研究問題的方法與經驗． 真正為他們今后研究問題提供一個思考、探索的方法．