正定和負(fù)定的一個應(yīng)用例析

利用二次型的有定性，可求多元函數(shù)的極值.

設(shè)ｎ元函數(shù)ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）在ｘ０ ＝ （ｘ１０，ｘ２０，…，ｘｎ０）的某鄰域中有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．

矩陣Ｈ（ｘ０） = ｆ１１（ｘ０） ｆ１２（ｘ０） … ｆ１ｎ（ｘ０）ｆ２１（ｘ０） ｆ２２（ｘ０） … ｆ２ｎ（ｘ０）… …… … ｆｎ１（ｘ０） ｆｎ２（ｘ０） … ｆｎｎ（ｘ０），則有如下判別法：

（１）當(dāng)｜Ｈｋ（ｘ０）｜ ＞ ０（ｋ ＝ １，２，…，ｎ）時，則ｆ（ｘ０）為ｆ（ｘ）的極小值．

（２）當(dāng)（－１）ｋ｜Ｈｋ（ｘ０）｜ ＞ ０（ｋ ＝ １，２，…，ｎ）時，則ｆ（ｘ０）為ｆ（ｘ）的極大值.

（３）Ｈ（ｘ０）為不定矩陣ｆ（ｘ０）非極值.

例１ 求函數(shù)ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ ３ｘ１２ ＋ ６ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２２ － ４ｘ２ｘ３ ＋ ８ｘ３２的極值．

解 f1 = 6x1 + 6x3 = ０，

ｆ２ ＝ ２ｘ２ － ４ｘ３ ＝ ０，

ｆ３ ＝ １６ｘ３ ＋ ６ｘ１ － ４ｘ２ ＝ 0.

解方程組得駐點ｘ０ ＝ （０，０，０）.

f11 = 6，f12 = 0，f13 = 6，

f21 = 0，f22 = 2，f23 = -4，

f31 = 6，f32 = -4，f33 = 16，

函數(shù)ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在點（０，０，０）處的赫斯矩陣為

H（x0） = ６０ ６０２ －４６－４ １６.

因為｜Ｈ１（ｘ０）｜ ＝ ６ ＞ ０，

｜Ｈ２（ｘ０）| =６００２ = 12 > 0，

｜Ｈ3（ｘ０）| = ６０ ６０２ －４６－４ １６ ＝ ２４ ＞ ０，

故ｆ（０，０，０） = 0為ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的極小值．

例２ ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｘ３ － e■- e■－ e■.

ｆ１ ＝ １ － e■， ｆ２ ＝ １ － e■， ｆ３ ＝ １ － e■.

得駐點ｘ０ ＝ （０，０，０）.

ｆ11 = -e■，ｆ12 = 0， f13 = 0，

f21 = 0， f22 = -e■， f23 = 0，

f31 = 0， f32 = 0，f33 = － e■.

ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在（０，０，０）處的赫斯矩陣為

Ｈ（ｘ０） = -1 0 0 0 -100 0 1.

|H1（x0）| = -1 ＜ ０，|H2（x0）| = 1 ＞ ０，|H3（x0）| = -1 ＜ ０.

故H（x0）為負(fù)定矩陣．

∴ ｆ（０，０，０） = -3為ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的極大值.

【參考文獻】

［1］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.（線性代數(shù)）.北京：高等教育出版社，1991（8）.

［2］趙樹嫄.經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（線性代數(shù)）.北京：中國人民大學(xué)出版社，1998（3）.