基于認知心理分析的數學直覺思維探究

【摘要】 在數學世界里直覺以其高度省略、簡化、濃縮的方式洞察數學問題的實質．數學直覺思維具有非邏輯性、或然性、自發性等基本特征．基于數學問題的解決，直覺思維表征在初始審題過程中，閃現念頭；在類比歸納過程中，自由躍進；在演繹推理過程中，創造規則．

【關鍵詞】 認知心理；直覺思維；問題解決；數學學習

【基金項目】 江蘇省鹽城師范學院２００８年度校級自然科學研究項目（０８ＹＣＫＬ０６９）．

所謂直覺是指人腦基于有限的事實和根據，調動一切已有知識經驗，對客觀事物的本質及其規律性聯系做出迅速的識別，敏銳的洞察，直接的理解和整體的判斷的思維過程．在數學世界里直覺以其高度省略、簡化、濃縮的方式洞察數學問題的實質，激發數學家們的創造才智，可以說，數學的創造性活動始終離不開直覺．本文試圖從認知心理的視角，分析數學直覺思維的內涵與本質，心理機制以及在此基礎上探究直覺思維在數學問題解決中的呈現方式．

一、數學直覺思維的基本內涵

俄羅斯心理學家克魯切茨斯基曾經對一位天才少年索尼婭進行跟蹤研究．有一次，他讓索尼婭解答一道證明題：２７６２７６，５９１５９１，１１２１１２，…這類數均能被13整除．克魯切茨斯基觀察發現索尼婭經10分鐘無效地嘗試，又把這些數用13來除，仍不得要領．經過片刻沉思，最后她突然說：“啊！我做出來了，所有這類數都可以寫成■ ＝ ■ ＋ ■ ＝ ■（１０００ ＋ １），而13|1001，所以它們均能被13整除．”

在這個問題中，解題的關鍵是要找出構成這類數的共同規律：■ ＝ ■ × 1001在索尼婭過去的經驗里，是什么為她提示了有關這類數的一般規律呢？她說自己也不清楚．在前10分鐘在讀題，審題，怎么也找不出一個“出口”，可是在10分鐘以后的某一刻，索尼婭的思維的正負極接通了，她根據題設條件，產生了讓人興奮的“火花”——判斷那一類數可以用數學字符表征，并表示成■ × 1001，使得問題得以迅速解決．索尼婭解題過程與人們認識事物一樣，是一個復雜的過程，需要經歷若干階段才能逐漸透過現象認識事物的本質，認識的最初階段只能根據已有的部分事實及結果，對某類現象提出一種推測性判斷，這種推測性判斷就是直覺思維．因此，所謂的直覺思維，指的是人腦對于數學問題的結構及其關系的某種突然的領悟和洞察，是對數學問題中的未知量及其關系做出的一種似真判斷．

二、數學直覺思維的本質

數學直覺思維雖然給人一種“知其然，不知其所以然”、“只可意會，難以言傳”的感覺，但是，它并不是一種神秘而不可捉摸的主觀幻象．深刻理解數學直覺思維的本質，對于我們有意識地培養和利用它具有十分重要的意義.

（一）數學直覺思維發生源于特定認知結構被激活

一般說來，一個主體的數學認知結構是通過把數學對象與原有知識和經驗結合起來，經過同化和順應，經過顯意識和潛意識的相互作用，不知不覺自然而然地建構起來的．它隨著主體數學認知實踐的深入和主體各方面的發展而逐步深化完善．數學認識過程中，如果數學對象的有限信息反映了主體相應數學認知結構的一定特征，那么在某種適宜的環境條件下，就能借助大腦直接激活該數學認知，產生對數學對象本質的洞察和領悟；相反，則“熟視無睹”，產生不了任何有價值的數學思維. 這就是面對同樣一個數學問題，在經過長時間思考之后，有的人有直覺思維的突然顯現，而有的人則反映遲鈍，在他人提示后恍然大悟的根源所在. 可見對數學認知結構的激活是發生數學直覺思維的關鍵. 因此，數學直覺經常發生在特定的時間或環境條件下，發生在反映數學對象本質非常深刻的高水平的數學認知結構上，發生在己被多次激活過、處于活躍期的數學認知結構上．

（二）數學直覺思維的實質是相關思維模的嵌入過程

思維模是指主體在認識過程中依據經驗而確立的思維元素與其相應的思維框架（ｓｃｈｅｍｅ） 所形成的結構，這種結構由于經驗的積累而形成模塊. 直覺思維的過程， 乃是依據相似關聯來檢索大腦中所儲存的模塊， 而后將其嵌入于所思考的問題之中， 以形成新的模塊. 這種思維過程可圖示如下：

圖中豎線的右邊是模塊， 其左邊是與模塊相對應的問題；上下兩行相對應的字母，表示對應關系；方括號內的字母表示由被嵌入的新問題而形成的新模塊. 雖說直覺思維是直接（一步） 完成嵌入的， 但直接并非快速， 因為對于模塊的選擇還需要有一個過程. 由于這種選擇具有明確的目的， 因而使用定向思維往往易于檢索有關信息；如其不然，則需要使思維向建構方向發展， 用創造性的想象去聯貫和構造它們.

（三）數學直覺思維具有邏輯性痕跡

許多人確信，數學直覺思維具有或然性、自發性、無意識性等基本特征，因而是非邏輯性的．事實上，在數學學科的發展歷程里，直覺思維顯然需要一定的知識基礎，很難想象一個沒有基本初等數學知識的人會想到四元數. 數學基礎與數學直覺思維之間一定存在某一邏輯通道，雖然這一通道有可能并不一定真正能夠打通. 正如曹才翰教授所說：“在數學中沒有邏輯的思維是不能進行的. 即使能進行，那對認識和解決數學問題可能也是無用的. ”產生數學直覺思維最重要的條件是人們對所研究的對象進行過長期的邏輯性思考，所以數學直覺思維是邏輯性特征. 但同時需要明確的是數學直覺思維是一種不連貫的跳躍式思維，通過數學直覺思維獲得的認知是在邏輯依據不充分的前提下，對數學對象（結構及關系）做出的一種判斷，雖然具有邏輯性，但并非完全依據邏輯規則，因而數學直覺得出的結論不完善，或是錯誤，都是在所難免的.

三、直覺思維在數學問題解決過程中的表征形態

問題解決是數學學科中最受關注的焦點，分析和探討直覺思維在數學問題解決過程中的表征形態對于提高問題解決質量和速度具有十分重要的現實意義．基于認知心理分析，倘若我們把數學問題解決的解法發現分為初始審題、猜想判斷和演繹推理三個階段的話，則可以把數學直覺思維在問題解決過程中的表征形態鮮明地構畫出來

（一）在初始審題的過程中，閃現念頭

在初始審題階段，題意往往會告訴我們這個題目好像見過，在哪里見記不得，也無需記清，但當時的解題方法是怎樣的一種“念頭”會被重新回憶，這便是一種直覺. 波利亞把解題過程中的每一個突然進展稱為“好念頭”，冒出一個好念頭是一種“靈感活動”，在他的“怎樣解題”表中的所有問題和建議都與它有關. 雖然每個人都體驗過好念頭的出現，但只能心領神會而難于言傳，因為它往往是“潛意識”工作的結果．這就明確指出了，在發現數學問題解法的過程中，數學直覺思維的確起了重要的作用．

（二）在類比歸納的過程中，自由躍進

有時直覺的產生并不在初始審題階段在耐心的讀題與思考過程中，我們需要類比和歸納幫助我們發現解法在類比和歸納的過程中時常會萌發一個個直覺一方面，歸納總結時產生直覺一個普遍性判斷包含了被歸納的事實中所沒有的內容，因而在由幾個單稱判斷“歸納”出一個新的全稱判斷時，歸納進程必然會跳躍一下．此外，數學發現也不可能局限于這種從一個個單個陳述跳到普遍陳述，而是可能在對事物的觀察中，根本就沒有這種結論的陳述．這些用形式邏輯解釋顯得無能為力的地方，只能視為直覺思維創造的結果．另一方面，類比猜想時伴有直覺的產生．類比中作比較的兩個對象只是相似關系，因此運用類比更可以做出不落案臼的跳躍式的自由聯想．無論是由原對象找到類比對象，還是抓住兩個對象能反映本質的相同屬性，都是具有很大跳躍性的直覺判斷，根本無法用形式邏輯解釋清楚．

（三）在演繹推理的過程中，創造規則

有時數學問題的解法發現單靠類比與歸納很難實現，還需要我們不斷地利用題設或結論去進行適當的推理演繹．這一階段的演繹推理與直覺交織在一起時，一般不是依三段論規則按步前進，而是采用比較迅速，比較“自由”的方式進行，通常有兩種情況：一種是原有邏輯程序的簡化和壓縮，多表現為在大腦中迅速檢索到一種“思維塊”并直接做出判斷，把它展開也可分解為連續的三段論的推理之鏈；另一種是推理之鏈中包含有不合三段論規則的環節，例如其中有犯了“四概念”之類錯誤的推理，但仍然做出了有價值的判斷．成功地做出這些判斷，就是直覺起作用的結果．因此，在直覺思維中，非演繹的或超越演繹規則的思維創造不僅是允許的，甚至是合理和必要的．數學發現極其需要想象力的跳躍，從對象甲跳到對象乙，乃至跳到對象丙和對象丁，這樣才會發現已有的知識系統中所沒有包含的新東西．

（四）在數學審美的過程中，激發靈感

對于一個特定的數學問題，在我們尋找解題路徑時利用數學的和諧美、簡單美和奇異美，有時亦能收獲特別的數學直覺. 在“和諧”美的情境下追求統一性、對稱性、不變性、恰當性，在“簡單”美的情境下，思考如何用簡單的原理、公式來概括大量的事實，在“奇異”美的感悟下，人們會涌現奇特與新穎的感受，所有這些都會在美的感召下，迸發出智慧的火花，這火花就是數學直覺. 因此，“美感與直覺緊密相關”，“美感能力越強，數學直覺能力也越強，從而數學發現與發明的能力也越強. ”

（五）在反思回顧的過程中，完善認知

波利亞曾精辟地指出“沒有任何問題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做”，這就明確告訴我們解題后的反思是一個必要的過程. 事實上，一個優美的解題過程（方法）就像一個人一樣，應該五官端正，四肢勻稱，對于一個解題過程，如果發現各部分之間有明顯的不協調之處，則往往有優先或簡化的可能，這樣的發現就是直覺. 有時當我們雖然把題目做出來了，但并不確認做得正確與否，我們也會尋求另一條路徑與解題，比如我們時常會考慮要數形結合去檢測答案是不是正確. 這一不同于原本解題的路徑就是直覺，這一直覺不僅對修正與完善解題過程有作用，而且對于提高解題者解題能力都有著特別重要的意義.

【參考文獻】

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