一道例題的拓展與思考

【摘要】 本文通過蘇科版教材一道例題的拓展與解答，力求體現相關知識間的聯系和數學的“轉化“思想. 文章呈現給學生題目的設計過程，展示了知識間的聯系并留給學生更加開放的思考空間，這樣的拓展有利于學生提出問題和解決問題能力的培養. 最后指出：數學解題的教學不能夠停留在題目的表面，教師要能夠揭示知識間的聯系、數學的本質，學生才能做到“舉一反三”.

【關鍵詞】 中位線；拓展；思考

蘇科版教材九年級上冊１．５節《三角形》的中位線有一道例題：如圖，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＤＣ的中點. 求證：ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）.梯形中位線的性質與三角形中位線的性質有什么聯系？它們的證明過程又有什么聯系？

一、三角形的中位線可以看作是梯形中位線的特殊情況

將梯形ＡＢＣＤ的頂點Ｄ沿與ＢＣ平行的直線ｌ向左移動至Ａ點，即可得到三角形的中位線，如圖１和圖２.

圖１：梯形的中位線ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）；

圖２：三角形的中位線ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■BC，可以看作梯形中位線ＡＤ ＝ ０時的特殊情況.

沿續上面的思路，讓Ｄ點在與ＢＣ平行的直線ｌ上繼續向左或向右運動，我們可以得到圖３和圖４．

圖３：EF = ■|BC - AD|，特別地，當ＡＤ ＝ ＢＣ時，Ｅ，Ｆ重合，ＥＦ ＝ ０．

圖４：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形，ＥＦ∥ＢＣ，ＥＦ ＝ ＢＣ ＝ ＡＤ，也可以看作EF = ■（BC + AD）.

思維不能就此停滯不前！

如果把直線ｌ改為與ＢＣ不平行，結論又是什么呢？如圖５，圖６所示：

可以引導學生觀察、猜測結論，然后證明.

可以證明圖５，圖６中結論：■|BC - AD| < EF < ■（BC + AD）.

二、梯形中位線性質的證明可以“轉化”為三角形中位線解答

１． 梯形中位線性質的證明可以轉為三角形的中位線，一般有如下幾種轉化方法，如圖所示：

圖７：連接ＡＦ并延長交ＢＣ的延長線于點Ｇ.

圖８：過點Ｄ作ＢＣ的平行線分別交ＥＦ，ＢＣ于點Ｍ，Ｈ.

圖９：連接ＡＣ交ＥＦ于點Ｎ.

圖１０：將梯形ＡＢＣＤ繞點Ｆ旋轉１８０°.

２． “Ｘ”圖形轉化為三角形中位線解答，如圖所示：

圖１１：連接ＡＣ交ＥＦ的延長線于點Ｋ；

圖１２：連接ＡＦ并延長交ＢＣ于點Ｌ；

圖１３：過點Ａ作ＡＮ∥ＢＣ，分別交ＥＦ，ＢＣ的延長線于Ｍ，Ｎ.

３． 當ＡＤ與ＢＣ不平行時，解答方法仍是轉化為三角形中位線解答，如圖１４、圖１５所示.

過Ｆ作ＡＤ的平行線ＦＧ，交線段ＡＣ于點Ｇ，連接ＥＧ.

三、教學思考

１． 上述幾道題目都可以轉化為三角形中位線解答，體現了數學“轉化”的思想.

２． 前面的題目雖然比較豐富，但是僅局限于四邊形對邊中點，如果把思維再放開些，我們可以得到什么結論呢？可以提出更加開放的問題留給學生思考，例如可以設置如下題組：

（１）“中點四邊形”，四邊形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別是四邊的中點，四邊形ＥＦＧＨ稱為四邊形ＡＢＣＤ的中點四邊形，試判斷四邊形ＥＦＧＨ的形狀，并判斷四邊形ＥＦＧＨ于四邊形ＡＢＣＤ的關系.

（２）如圖１６，正方形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ分別是線段ＣＤ，ＡＤ上任意一點，Ｇ，Ｈ，Ｐ，Ｑ分別是線段ＡＢ，ＢＥ，ＥＦ，ＦＡ的中點，試判斷四邊形ＧＨＰＱ的形狀.

３． 數學的解題教學應該抓住題目的本質、揭示知識間的聯系，這樣我們的解題教學才能夠“舉一反三”，而不是落入簡單堆砌的“題海”中. 例如，幾何中有一個結論“同角的余角相等，同角的補角相等”，在進行這個結論的教學時，我們若能解讀其中的數學本質，將有利于學生建立數學知識間的聯系.

這個結論的證明過程中用到了等式的性質，如果在教學中能夠適當拓展，將達到“舉一反三”的效果. 我們可以對這個等式性質的本質進行如下的挖掘：

∠Ａ＋∠Ｃ ＝ ９０°∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ９０°ａ ＋ ｃ ＝ ９０°ｂ ＋ ｃ ＝ ９０° ａ ＋ ｃ ＝ ｎｂ ＋ ｃ ＝ ｎ.

以下面幾道題目為例：

題１ 已知：等邊△ＡＢＣ，Ｅ，Ｆ，Ｄ分別是三邊上的點，且∠FED = 60°.求證：△AFE∽△BED.

在題目的證明中，說明一組對角相等就用到了上述等式的性質.

∠ＡFE ＋ ∠AEF ＝ 12０°∠DEＢ ＋ ∠AEF ＝ 120°∠AFE = ∠DEB.

題２ 已知：正方形ＡＢＣＤ， Ｅ，Ｆ，Ｇ分別是邊上的點，且∠EFG = 90°. 求證：△BFE∽△CGF.

在題目的證明中，說明一組對角相等還是用到了上述等式的性質.

∠BFE ＋ ∠BEF ＝ 9０°∠BFE ＋ ∠GFC ＝ 90°∠BEF = ∠GFC.

上述例題可以推廣到一般情況：正ｎ邊形，留給同學去思考.

題３ （南京市２００７年中考試題，第２６題）梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = AD = 6，∠ABC = 60°，點Ｅ，Ｆ分別在線段上ＡＤ，ＤＣ上（點E與點A，D不重合），且∠BEF = 120°，設AE = x，DF= y．（１）求y與x的函數表達式；（２）當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

題目在證明相似關系時就用到了∠AEB ＋ ∠ABE ＝ 6０°∠AEB ＋ ∠DEF ＝ 60° 這個等式，它的本質就是等式的性質.

做為一名數學教師，我們經常要求我們的學生“舉一反三”，但如果我們在教學時自己都不能“去偽存真”，挖掘數學題目中隱含的數學本質、知識間的聯系，我們怎么能夠要求學生呢？對數學解題的教學我們的老師絕不能夠停留在熱鬧的數學表面，一定要深入，相信長此以往，我們的學生定能夠“舉一反三”.