建構基本圖形 走進自由王國

平面幾何中，在解決問題時常要添加輔助線.而添加輔助線的重要方法之一是建構基本圖形.本文列舉了五個常用基本圖形，并以五個例題的解答方法，說明建構基本圖形的重要作用.同時也指出，再復雜的圖形，都是由基本圖形構成的，或者是可以轉化成基本圖形的.

下面我們來熟悉五個基本圖形以及這五個基本圖形的建構，以起到拋磚引玉之功效.

一、五個基本圖形

如圖1，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分別是ＡＢ，ＡＣ的中點，我們立即可得： ＤＥ∥ＢＣ且ＤＥ ＝ ■ＢＣ.

如圖2，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，Ｄ是ＡＣ中點，我們立即可得ＢＤ ＝ ■ＡＣ.

如圖3，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ∥ＯＢ交ＯＡ于Ｃ，交ＯＰ于Ｄ，不難得到ＣＤ ＝ ＯＣ.

如圖4，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ⊥ＯＰ分交ＯＡ，ＯＢ，ＯＰ于點Ｃ，Ｄ，Ｅ，則易得ＯＣ ＝ ＯＤ，ＣＥ ＝ ＤＥ.

如圖5，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ在ＯＣ上，ＰＥ⊥ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于Ｆ，可得ＰＥ ＝ ＰＦ.

本文僅就這五個基本圖形的建構和應用來說明它們在解題中的作用.

二、小試牛刀

例 如圖6，△ＡＢＣ中ＡＤ平分∠ＢＡＣ， Ｄ是ＢＣ中點，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ.別小看這一題目，弄不好就會不知不覺地誤入歧途. 曾有學生快速給出“證明”：

證明 ∵ ＡＤ ＝ ＡＤ，∠１ ＝ ∠２，ＢＤ ＝ ＣＤ，∴△ＡＢＤ ≌ △ＡＣＤ，∴ ＡＢ ＝ ＡＣ.

以上證明正確嗎？其實，這樣證明是錯誤的，犯了“邊邊角”的錯誤.那么，如何證明？這就需要我們去建構“橋梁”.本題證法很多，這里只舉兩種方法，供大家思考體會.

證明方法一 如圖7，取ＡＢ中點Ｅ，連接ＤＥ.

此證法通過添加三角形的中位線，建構了基本圖形1，3，從而使問題得以解決.

證明方法二 如圖8作ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ.

此證法通過添加輔助線，建構基本圖形5，從而使問題得以解決.

三、小菜一碟

如圖9，ＢＤ，ＣＥ分別是△ＡＢＣ的高，Ｆ是ＢＣ中點，ＦＧ⊥ＥＤ于Ｇ. 求證：ＥＧ＝ＧＤ.

注意：這里的高表明△ＢＥＣ，△ＢＤＣ都是直角三角形，ＢＣ是它們的斜邊， Ｆ是斜邊中點，只要連接ＦＥ，ＦＤ，問題立即可解.這里建構的是基本圖形2，證明略.

四、似難卻易

如圖10，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是中線，求證：ＡＤ ＜ ■（ＡＢ ＋ ＡＣ）.

本題看起來圖形簡單，條件少，然而想要正確證明，卻并不容易.其實，只要作出中位線，建構成基本圖形1，則問題迎刃而解.

五、就這么簡單

如圖11，已知△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＣ⊥ＡＤ于Ｄ，Ｅ是ＢＣ中點，求證：ＤＥ∥ＡＢ.

本題只要延長ＣＤ交ＡＢ于Ｆ，則建構出基本圖形4，可證得ＣＤ ＝ ＤＦ，結合ＣＥ ＝ ＢＥ，則ＤＥ∥ＡＢ可得.

六、再證一題

如圖12，在四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＢＣ，Ｅ，Ｆ分別是ＤＣ，ＡＢ的中點，ＦＥ的延長線分別交ＡＤ延長線和ＢＣ延長線于Ｈ，Ｇ， 求證：∠Ｈ ＝ ∠ＦＧＢ.

本題圖形較為復雜，條件分散，證明較為困難.但只要充分利用中點條件，設法建構基本圖形1，則此題易解.

請看，連接ＢＤ，取ＢＤ中點Ｓ，連ＳＥ，ＳＦ. 如此建構，妙招連連，其一將四邊形轉化成三角形，其二建構三角形中位線，其三實現了把分散的∠Ｈ和∠ＦＧＢ，以及已知條件ＡＤ ＝ ＣＢ減半后，都集中到△ＳＥＦ中，進而使問題得解.證明略.

在幾何學習中，圖形的證明一直是部分同學感到棘手的問題.其實，只要我們能認真學習并掌握每一個基本圖形及相關定理，并能根據題目中給出的信息，開動腦筋，積極思考，建構相關圖形，并確信任何復雜的圖形都是由基本圖形構成的或者是可以轉化成基本圖形的，這樣，就能把復雜且陌生的未知問題轉化為簡單的、熟悉的已知問題去解決.只有我們勇于探索、善于思考、發現規律、樹立信心，就一定能學好數學、學好幾何.