萬有引力教學中應注意的幾個問題

萬有引力定律揭示了自然界中物體間普通存的一種基本相互作用規律和行星運動的本質原因，從此把地上運動和天上的運動聯系了起來。萬有引力定律的具體應用有：根據其規律發現新的天體，測天體質量，計算天體密度，研究天體的運動規律，同時也是現代空間技術的理論基礎。此部分也是教學的難點。學生學習此部分內容時普遍反映公式變化較多，關系復雜。根據本人實踐感覺到，在教學中如能讓學生注意弄清以下幾個問題，就可以很好地掌握這一部分內容：

一、不同公式中r的區別

萬有引力定律公式中的r指兩個物體間距離，對于相距很遠可看成質點的物體來說，即為兩質點間的距離；向心力公式中的r，對于橢圓軌道來說指曲率半徑，對于圓軌道來說是圓半徑，對于球形天體來說指天體半徑。

例1：如圖，兩個靠得較近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須以一定的速度繞某一中心轉動才不至于因萬有力而吸在一起。已知雙星為球體，半徑分別為r1，r2，密度均為，相距為ρ，且，引力常量為G。

求：（1）雙星轉動中心位置。

（2）雙星轉動周期。

解析：（1）雙星中的任何一顆恒星，其作圓周運動的向心力由兩者間萬有引力提供，設雙星轉動的中心位置O，距星a為r'，由，，，

（2）

二、自轉周期與公轉周期

自轉周期是天體繞自身某軸線轉動一周的時間，公轉周期是衛星等繞中心天體做圓周運動一周的時間，它們一般情況下不相等，如地球自轉周期24小時，公轉周期365天，在應用中要注意區分。

例2：已知太陽光射到地球需要時間，地球同步衛星高度，試估算太陽和地球的質量。

解：設太陽質量M1，地球質量M2，衛星質量M，地球公轉周期T，自轉周期T1。

地球繞太陽圓周運動：，

C為光速，

衛星繞地球圓周運動：

三、穩定運行和變軌運動

衛星繞天體穩定運行時，萬有引力提供衛星作圓周運動的向心力，由，得，由此，軌道半徑r越大，衛星運行速度越小。當衛星由于某種原因速度突然改變時，F和不相等。

因此不成立。當時，衛星做近心運動；當衛星做離心運動。

例3：如圖，發射一顆赤道平面上衛星，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后點火使其在橢圓軌道2上運動，最后再次點火將衛星送入預定圓軌道3，軌道1、2相切于A點，軌道2、3相切于B點，則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運動時，下列說法正確的是（ ）

A、衛星在3上的周期大于在軌道1上周期

B、衛星在3上的速度大于在軌道1上速度

C、衛星在2上運行時，經過A時的速度大于經過B時的速度

D、衛星在2上運行時，經過A點的加速度大于經過B點的加速度

解析：A、B穩定運行， ，A正確

， B錯誤

C、變軌運行，A點開始離心運動，B點開始向心運動，C、正確，

D、由，，C正確

四、同步衛星和一般衛星

地球同步衛星和其他衛星雖然都繞地球運動，軌道平面均過地心，但它們間有著明顯區別。

地球同步衛星是相對于地面靜止和地球自轉方向、自轉周期都相同的衛星，它只能在赤道平面內，它的繞行速度、加速度、離地面高度都為定值。而一般衛星軌道平面，繞行速度、加速度離地高度可以不同。

例4：均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛星能夠實現除地球南北極等少數地區外的“全球通信”。已知地球半徑R，地球表面重力加速度g，地球自轉周期T，則三顆衛星中任意兩顆間距為多少？

解：設地球質量M，衛星軌道半徑r，衛星向心力由萬有引力提供

（1）地面附近有：

（2）

（3）

五、赤道上物體與近地衛星

放在赤道上的物體隨地球自轉時受兩個力作用，一個受地球引力，另一個地面對其支持力，這兩個力的合力提供物體作圓周運動的向心力。

即，這里F＝mg，物體向心力加速度很小，，地面附近重力加速度很大，，繞天體運行的衛星，只受一個引力作用，衛星中的物體處于完全失重狀態，故，衛星的向心力速度a等于衛星所在處的重力加速度，對近地衛星，。

例5：用彈簧秤在地球兩極和赤道稱同一物體，示數分別為和，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球自轉角速度，應為原來的多少倍？

解：設地球質量M，地球半徑R，兩極重力加速度，赤道重力加速度

在兩極：

赤道：

赤道上物體飄起來，

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