中學(xué)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的訓(xùn)練

2011-12-31 00:00:00石拴筠

教育界·上旬 2011年17期

一、數(shù)學(xué)思維靈活性訓(xùn)練

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維靈活性表現(xiàn)為：善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時(shí)地提出新的設(shè)想和解題方案。數(shù)學(xué)上的題目千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地解出題目，總用一套固定的方案是不行的，必須視其具體情況，靈活確定解題方案，也就是說必須具有思維的靈活性。靈活性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.善于觀察

任何一道數(shù)學(xué)題都有一定的條件和數(shù)學(xué)關(guān)系，要依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察。通過認(rèn)真思維，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，才能確定思路，找到解題方法。

例如，求和。

觀察它的特征：每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，這樣，原式就等于

問題很快就解決了。

2. 善于聯(lián)想

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。一般，題目和基礎(chǔ)知識(shí)之間的聯(lián)系是不明顯的。因此怎樣解題、解題的速度取決于是否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，作出相應(yīng)的聯(lián)想。

例如，因式分解

。

若將每個(gè)立方式都展開再進(jìn)行整理進(jìn)行因式分解，肯定是十分困難的。但是聯(lián)想到以前學(xué)過的結(jié)論：若，則，問題就會(huì)迎刃而解。

3. 善于轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)解題的過程實(shí)際上是問題轉(zhuǎn)化的過程。一般來講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。

例如，已知

（），求證a，b，c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

分析一下可看出，要證明的結(jié)論可轉(zhuǎn)化為

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。

善于觀察、善于聯(lián)想、善于轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維靈活性的體現(xiàn)，要提高思維靈活性，就應(yīng)在這三方面作相應(yīng)的訓(xùn)練。

二、數(shù)學(xué)思維批判性訓(xùn)練

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維的批判性表現(xiàn)在善于提出獨(dú)立的見解，能精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。具有這種思維品質(zhì)的人，在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所給的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，對(duì)發(fā)展創(chuàng)造性思維有很大作用。

數(shù)學(xué)思維批判性主要有以下體現(xiàn)：

1. 對(duì)已有的數(shù)學(xué)表述能提出自己的看法，不盲從附和

在數(shù)學(xué)上，前人的表述未必都是正確的，善于發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤，就充分體現(xiàn)出思維的批判性。如費(fèi)爾瑪素?cái)?shù)猜想：；歐拉對(duì)此猜想不是盲目認(rèn)可，而是舉出當(dāng)時(shí)，不是素?cái)?shù) ，就是思維批判性極好的例證。

另外，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，遇到大量的習(xí)題，出于種種原因，這些習(xí)題中也有不夠完善甚至錯(cuò)誤的地方。善于發(fā)現(xiàn)并指出錯(cuò)誤，也體現(xiàn)思維的批判性。

例如，已知方程的兩個(gè)根是和；求k值。如果應(yīng)用韋達(dá)定理，容易算出k=40。

但在使用韋達(dá)定理時(shí)，要有，而事實(shí)上，對(duì)一切，總有，因而滿足題設(shè)的k是不存在的。那么，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)這種問題，說明思維的批判能力較強(qiáng)。

2. 能嚴(yán)密地、全面地利用已知條件，能及時(shí)、迅速地自我反饋

思維的批判性不只是對(duì)人，對(duì)己也要經(jīng)常審視，及時(shí)審視自己的解題過程，能使思維活動(dòng)減少盲目性，增強(qiáng)主動(dòng)性，保證思維結(jié)果準(zhǔn)確。

3. 構(gòu)造反例，駁倒認(rèn)為不真的命題

首先對(duì)一些命題（如猜想），要用批判的態(tài)度去分析，要善于構(gòu)造反例，以推翻一些不真的命題。在審視前人的已有結(jié)果時(shí)，也應(yīng)用批判性的態(tài)度去分析解題（證題）過程，發(fā)現(xiàn)其中的不足，不斷加以完善和改正。

三、數(shù)學(xué)思維廣闊性訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思維廣闊性指的是對(duì)一個(gè)問題能從多方面考慮，對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多角度觀察，對(duì)一個(gè)題目能得到多種不同的解法。

對(duì)中學(xué)生來說，思維的廣闊性的訓(xùn)練是極為重要的環(huán)節(jié)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的各部分之間存在概念的親緣關(guān)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就起到覆蓋全部內(nèi)容，使知識(shí)融會(huì)貫通的作用。而橫向聯(lián)系主要靠思維的廣闊性來實(shí)現(xiàn)。通過不同的方法解決同一問題，可以開拓思路，鞏固知識(shí)，還可以激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

1. 一題多解

例如，平面幾何中“四點(diǎn)共圓”問題，就可以利用下面的方法來證明：

①到定點(diǎn)的距離等于定長的四點(diǎn)共圓；

②對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四頂點(diǎn)共圓；

③外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形四點(diǎn)共圓；

④同底、同側(cè)、等頂角的兩個(gè)三角形構(gòu)成的四邊形四點(diǎn)共圓；

⑤滿足相交弦定理結(jié)論的四點(diǎn)共圓；

⑥滿足切割線定理結(jié)論的四點(diǎn)共圓。

進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，可使學(xué)生全面掌握這部分知識(shí)。

2. 一題多義

這里的多義，指的是一題有多種解釋。例如，函數(shù)式可以有如下幾種解釋：

①可看成自由落體公式；