如何讓數學知識來得自然

摘要數學教學應在把握數學知識本質和知識發展主線的基礎上，盡可能讓學生自然地合理地提出問題、解決問題、拓展問題，而教師則在整個教學過程中為學生提供思維策略與思維方法的指導，為學生有效突破思維難點、利用思維難點提供幫助。

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

How to Make Mathematics Learning More Natural

ZHENG Zhixiong

(Shishan Middle School， Nan'an， Fujian 362300)

AbstractMathematics Teaching should be on the basis of grasping the nature of mathematical knowledge and knowledge development，try to make students ask questions reasonably， solve problems， develop problem， and teachers should provide students thinking strategies and ways of thinking guidance in teaching process， give help to effective breakthrough thinking and the use of thinking difficulties.

Key wordsmathematics; teaching; solve the problem

朱熹講過：“讀書無疑者，需教其有疑，有疑者無疑，至此方是長進。”問題是數學的心臟，數學知識、思想、方法、觀念都是在解決數學問題的過程中形成和發展起來的，沒有問題就沒有思維。作為一名數學教師，應該清醒認識到，學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。教師應向學生提供充分的從事數學活動的機會，使學生學會思考。學生能自己解決的問題，教師絕不要包辦。這就要求教師在教學過程當中要巧設疑問，努力將問題設計到某個情境當中，為學生的思維提供一個廣闊的空間，使學生在特定的情境當中提出、解決、拓展問題。

然而，長期以來的數學教學中，教師過于注重知識傳授和接受學習的傾向，輕視對學生學習興趣的培養。學生只是機械地學習數學知識，缺少思辨，自己的判斷和分析成份不多。因此，如何構造一節生動的富有教育意義的數學課，達到激發學生的學習興趣，讓學生感覺到每一節的數學知識來得如此自然，讓所有學生都能學好數學，就顯得更加迫切。

1 自然合理地提出問題

數學的核心是提出問題和解決問題。提出問題是解決問題的邏輯前提，那么怎樣才能自然地合理地提出問題？眾所周知，“學起于思，思源于疑”。只有學生有了疑問才會去進一步思考問題，才會有所發展，有所創造。從心理學上講，按照人的認知規律，人易對懸而未決的問題產生興趣。因此，設置懸念情境，將有利于學生對新知產生強烈的好奇心和求知欲，推動學生的情感波瀾，撞擊學生的求知心靈，激起學生的思維火花。因此，教學中教師要通過揭示知識的內在聯系與發展的必然性，引導學生自然地合理地提出問題，并有效地指導學生掌握提出問題的思維方法，促進他們思維能力的提高。

又如，講解“等比數列的前項和”時，在課堂先引出“印度國王獎賞國際象棋發明者的故事”：卡克發明國際象棋后，國王為了獎勵他，向他承諾全國的金銀財寶任他挑選。而卡克只提出一個要求：在他發明的象棋棋盤的64個方格中，第一格放一粒小麥，第二格放兩粒小麥，第三格放四粒，依此類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子……國王聽后，認為要求不高。然而通過計算，小麥數量大得驚人，若將這些糧食鋪在地面上，可將整個地球表面鋪上三厘米厚的一層！這個故事一下子抓住了學生的注意力。學生對新知識產生一種急于想聽下去的心理，從而帶著一種渴望的心理去學習，也就自然地提出這樣的問題：怎樣去計算這些數字呢？這時學生的學習是自發的、主動的，也是最有效的。

2 自然合理地解決問題

數學教學的最重要任務是培養和發展學生的數學能力，其中又以培養和發展學生的數學思維能力為重點為。問題是思維的起點，恰時恰點的問題串可以不斷激發學生深入思考的欲望，并通過自助和互助獲得解決問題的途徑。

美國教育家布魯納說：“只要有可能，教學法的目標應該是引導學生自己去發現。”事實上，學生在校以學習間接經驗為主，學生的學習主要是“接受—建構”式的，因此，對教學起關鍵作用的內容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示，其他內容教師可多講授與引導，使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化。因此，當學生遇到困難時，教師不是立即告知結論，而是提供信息、啟發思路，有針對性地進行指導。

例如，學習“等比數列的前n項和”時，

sn = a1 + a1q + a1q2 + … + a1qn - 1。①

教科書上只是簡單地寫到“我們發現，如果用公比q乘①的兩邊，可得

qsn = a1 + a1q + a1q2 + … + a1qn。②

其實，在這里要發現用公比q乘①的兩邊，并不簡單。為了改變過去教學中過于注重知識傳授和強調接受學習的傾向，向學生提供充分的從事數學活動的機會，使學生學會思考，筆者設計了幾個問題：

問題1：如果q = 1， sn = ？

學生很快得出結果：sn = na1。

問題2：如果q≠1， sn = ?

此時學生議論起來，覺得無從下手。為了引導同學探究等比數列的前n項和(q≠1)公式的方法，教師繼續追問：等差數列的前n項和公式是用什么方法推導的？

生：用倒序相加法推得了它的前n項和公式。

師：類比聯想以上方法，怎樣探究等比數列的前n項和(q≠1)公式呢？

師提示：先來探究s = 1 + 2 + 22 + … + 263的問題吧。請同學們觀察這個式子有什么特點？

生：發現規律：式子右邊的每一項2的次數是依次增加的，即式子右邊的每一項乘以2后都得它的后一項。即：

s = 1 + 2 + 22 + … + 263①

2s =2 + 22 + … + 263 + 264 ②

教師要及時表揚學生的表現，并繼續引導學生發現：只要把②右邊的第一項空一個項跳到第二項，那么相同的指數就對齊了。這樣，只要②-①，得：s = 264 - 1。

通過這個問題的解決，學生感覺到等比數列的前n項和可以化為一個比較簡單的形式，關鍵的問題是如何簡化。

師：下面大家來一起探究首項為1的等比數列的前n項和，即求

sn = 1 + q + q2 + … + qn-1，請同學們觀察這個式子有什么規律？

給學生足夠的時間讓其觀察、思考、合作交流、自主探索。

生：發現規律：式子右邊的每一項q的次數是依次增加的，即式子右邊的每一項乘以q后都得它的后一項。即：

sn = 1 + q + q2 + … + qn-1 ①

qsn =q + q2 + q3 + … + qn②

同樣，只要把②右邊的第一項空一個項跳到第二項，那么相同的指數就對齊了。然后，

①-②，得：(1 - q)sn = 1 - qn，sn =(q≠1) ，

即1 + q + q2 + … + qn-1=(q≠1)。

師：這就是首項為1的等比數列的前n項和公式。在上面求和的過程中，蘊含著一個特殊且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法，我們把這種方法簡稱為“錯位相減法”。

接下來，教師繼續追問：一般的等比數列與首項為1的等比數列有什么聯系？

生：只要在首項為1的等比數列的前n項乘以一個首項，就是一個一般的等比數列了。

師：如何求一般的等比數列的前n項和sn = a1 + a2 + a3 + … + an呢？

讓學生觀察、思考、合作交流、自主探索。

生：發現sn = a1 + a1q + a1q2 + … + a1qn - 1 = a1(1 +q + q2 + … + qn-1) =(q≠1)

即：等比數列的前m項和公式為sn =(q≠1)。

這節課，在教師一環扣一環的提問下，一次又一次激發了學生的求知欲，最后學生在探究的過程中終于自然地發現了等比數列前n項和的公式，也就自然且合理地解決了等比數列的前n項和這個問題，讓學生興致勃勃的體驗到成功的快樂。比起課本上要求學生被動接受的等比數列的前n項和的公式的學習，這樣的效果可想而知。

3 自然合理地拓展問題

數學知識不是孤立存在的，因此，在數學教學中既要有知識的傳授，還應加強對數學知識的延伸拓展。一個問題解決之后，如何引導學生自然合理地拓展問題，是當前數學教學的薄弱環節。問題引領教學，不僅應體現在課堂教學之初，也應體現和貫穿于整個課堂教學。只有在適當的時候用恰當的問題來不斷地引導課堂教學，才能增加數學教學的思維含量，促進學生思維更好更快地發展。

例如，在獲得任意角的概念后，教師可以引導學生：已經將銳角推廣到了任意角，初中時還學習了銳角的三角函數的定義，同學們可以拓展出什么樣的問題呢？

經過教師的點撥，學生會自然且合理地拓展出以下問題：①如何定義任意角的三角函數呢？②三角函數的定義域、值域分別是什么？③三角函數具有哪些性質？……

“任意角三角函數”是“銳角三角函數”概念的因襲和擴張，角由“銳角”推廣到“任意角”之后，將“銳角三角函數” 概念通過類比推廣到“任意角三角函數”是自然合理的需求。

而在獲得任意角三角函數的概念后，又可以引導學生自然合理地拓展出以下問題：①可以運用這個概念解決哪些問題？如求已知角的三角函數值，求終邊確定的角的三角函數值等；②三角函數值在各個象限的符號如何？③三角函數的圖象與性質怎么樣？……

需要注意的是，學生的學習經常存在這樣一個誤區，即學數學除了聽教師講，就是做練習，這對發展學生的思維、培養學生的探究能力和創新精神極為不利。因為練習中的思維基本上是再現性思維、模仿性思維，探究、創新的含量相當低。因此，學生的數學學習不能只有接受性、模仿性的學習，教師要為學生真正的探究學習、自主學習留出空間、搭建平臺。

總之，數學教學是一個提出、解決、拓展問題的過程。因此，數學教學應為學生創設不斷地提出問題、解決問題的平臺；教師的任務是保障學生的思維自由，不斷地拓展學生的思維空間。正如人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》主編寄語中所說的“數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用以及它與其它概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味。”

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