對稱性方法在積分計算中的應用

【摘要】通過典型的例子探討了對稱性方法在積分計算中的應用，從而說明對稱性方法的有效性及其在簡化積分運算中的重要作用.

【關鍵詞】對稱性方法；定積分；重積分；曲線積分

積分運算是高等數學中十分重要的內容，定積分、重積分和曲線、曲面積分在高等數學課程的知識內容上占有較大的比重，積分計算的方法和技巧也是高等數學中主要涉及的內容之一，其中對稱性方法是積分計算中一種常用和有效的方法，例如奇（偶）函數在對稱區間上的定積分公式也可以看做對稱性方法的應用.本文通過幾個典型的例子探討對稱性方法在積分計算中的應用，同時探討了積分計算中使用對稱性方法的條件.

例1 計算定積分∫π2-π2sin2x1+e-xdx.

可以看出這不是一道常規的定積分計算的題目，嘗試后會發現利用不定積分求原函數，進而借助牛頓—萊布尼茲公式求此定積分的方法是行不通的.所以，只能利用被積函數的特點和定積分的性質來進行計算.此定積分的積分區間是關于原點的對稱區間，這是一個重要的信息.如果令被積函數為f(x)，即f(x)=sin2x1+e-x=exsin2x1+ex，則f(-x)=sin2x1+ex，容易計算得f(x)+f(-x)=sin2x，進而求積分.

∫π2-π2［f(x)+f(-x)］dx=∫π2-π2sin2xdx

=12∫π2-π2(1-cos2x)dx=π2.

由于被積函數積分f(x)=sin2x1+e-x是連續函數，利用定積分的幾何意義和對稱性可以得到∫π2-π2f(-x)dx=∫π2-π2f(x)dx，從而可以得出∫π2-π2sin2x1+e-xdx=π4.

注1 上例求解過程中十分重要的一步是利用對稱性得出等式∫π2-π2f(-x)dx=∫π2-π2f(x)dx.這一結果可以推廣到更一般的對稱區間上函數積分的情形，即對于任意a>0，若函數f(x)在區間［-a，a］上可積，則等式∫a-af(-x)dx=∫a-af(x)dx成立.利用換元積分法容易證明上述等式成立，需要說明的是：一般情況下只需要函數f(x)可積，不必要求其滿足連續性.

注2 諸多微積分教材對奇（偶）函數在對稱區間上的積分公式都有講解，但是卻很少有教材論及公式∫a-af(-x)dx=∫a-af(x)dx，然而，從上述例1的求解過程可見這是一個十分有效的公式，利用該公式還可以求形如∫β-βcos2x1+a-xdx積分的值.

接下來探討一個變量的對稱性在積分中應用的例子.

例2 設平面區域D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤a}，L為區域D的正向邊界.證明：Lxesinydy-ye-sinxdx=Lxe-sinydy-yesinxdx.

證明 利用格林公式，上面等式左端

Lxesinydy-ye-sinxdx=D(esiny+e-sinx)dxdy.（1）

同理，等式右端

Lxe-sinydy-yesinxdx=D(e-siny+esinx)dxdy.（2）

由積分區域D的定義，變量x和y的地位是對稱的，從而如下等式成立

D(esiny+e-sinx)dxdy=D(e-siny+esinx)dxdy，（3）

即等式（1）和（2）右端相等，從而其左端也必然相等，故原等式成立.

最后探討利用積分區域和被積函數的對稱性質求解積分的例子.

例3 計算二重積分D：|x|+|y|≤1xyf(x2+2y2)dxdy.

由于被積函數中含有不具體的函數項f(x2+2y2)，從而該二重積分的求解不能按照常規的方法將二重積分轉化為二次積分進行.觀察可以發現，此積分的積分區域是關于y軸對稱的區域，被積函數在第一和第二象限是關于變量x的奇函數，從而函數在第一與第二象限的區域上的積分之和為0，同理可以得出函數在第三與第四象限的區域上的積分之和為0，由二重積分的區域可加性，從而可以得出D：|x|+|y|≤1xyf(x2+2y2)dxdy=0.

注3 例3中的計算既需要積分區域的對稱性，也要求被積函數滿足一定的對稱性（奇偶性），二者之一不滿足時，對稱性方法將不再適用.

通過上面的舉例分析，可以發現對稱性方法是積分計算中一種常用和有效的方法，利用對稱性技巧，可以大大簡化積分的運算，但是，運用對稱性方法計算積分，一定要仔細驗證積分區域和被積函數所滿足的對稱性質，否則，將會造成對稱性方法的不當使用.

致謝 論文的相關研究得到杭州電子科技大學高等教育研究項目資助（項目編號：YB1112；YB1111）.

【參考文獻】

［1］同濟大學數學系.高等數學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］同濟大學應用數學系.微積分（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文