利用基本不等式求函數最值

江蘇省高中新課程改革以來，2008年到2010年進行了三年的新模式下的高考，作為考查層次由2007年的了解、理解和掌握、靈活和綜合運用三個層次(分別用A、B、C表示)修改為了解、理解、掌握三個層次(分別用A，B，C表示).與A層次對應的知識點的考查應以容易題為主.對理解層次這部分知識的考查有可能出難題.對掌握層次這部分知識的考查，出難題便順理成章.由于高一級層次的要求包括低一級層次要求，因此在這些知識點上也可以出容易題或中等題.考試說明中C級要求的知識點全在必做題部分.具體內容如下:兩角和與差的正弦、余弦和正切、平面向量的數量積、等差數列、等比數列、基本不等式、一元二次不等式、直線方程、圓的標準方程和一般方程，這些知識點都成為3年新高考的熱點.其中運用基本不等式求最值更是熱點中的熱點.利用基本不等式求函數的最大值或最小值是高中求函數最值的主要方法之一.

基本不等式的內容及使用要點：

①a，b∈R時，a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時“=”號成立）；

②a，b≥0時，a+b≥2ab（當且僅當a=b時“=”號成立）.

這兩個公式的結構完全一致，但適用范圍不同.若在非負實數范圍之內，兩個公式均成立，此時應根據題目的條件和結論選用合適的公式及公式的變形：ab≤a2+b22，ab≤a+b22.對不等式ab≤a2+b22，還有更一般的表達式：|ab|≤a2+b22.

利用基本不等式求函數最值時，其條件為“一正二定三等”，“一正”指的是在正實數集合內，“二定”指的是解析式各因式的和或積為定值（常數），“三等”指的是等號條件能夠成立.見和想積，湊積為定值，則和有最小值；見積想和，湊和為定值，則積有最大值.舉例分析：

一、一元函數求最值

例1 （2009年湖南卷文）若x>0，則x+2x的最小值為.

解析 ∵x>0x+2x≥22，當且僅當x=2xx=2時取等號.

例2 （南京市2011屆一模）已知f(x)=log2(x-2)，若實數m，n滿足f(m)+f(2n)=3，則m+n的最小值是.

解析 此類問題通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式.

解法一 由log2(m-2)+log2(2n-2)=3，得(m-2)#8226;(n-1)=4，則m=4n-1+2，所以m+n=4n-1+2+n=4n-1+(n-1)+3≥24+3=7（當且僅當“n=3”時，取等號），故m+n的最小值為7.

解法二 m+n=(m-2)+(n-1)+3≥2(m-2)(n-1)+3=7.

二、二元函數求最值

例3 （2008年江蘇）已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，則y2xz的最小值為.

解析 本題考查二元基本不等式的運用.由x-2y+3z=0，得y=x+3z2，代入y2xz，得x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，當且僅當x=3z時取“=”.

例4 (泰州市2011屆一模)已知正實數x，y，z滿足2xx+1y+1z=yz，則x+1yx+1z的最小值為.

解析 由題知2xx+1y+1z=yz，即x2+xy+xz=yz2.于是可將給定代數式化簡，得x+1yx+1z=x2+xy+xz+1yz=yz2+1yz≥2yz2#8226;1yz=2，當且僅當yz=2時取等號.

三、多元變量求最值

例5 (2006年重慶)若a，b，c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23，則2a+b+c的最小值為().

A.3-1

B.3+1

C.23+2

D.23-2

解析 若a，b，c>0且a(a+b+c)+bc=4-23，∴a2+ab+ac+bc=4-23，4-23=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2)，∴(23-2)2≤(2a+b+c)2，則2a+b+c≥23-2.選D.

例6 （2010年四川理）設a>b>c>0，則2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是()

解析 2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2

=(a-5c)2+a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)

=(a-5c)2+ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)

≥0+2+2=4.

當且僅當a-5c＝0，ab＝1，a(a-b)＝1時等號成立.

如取a＝2，b＝22，c＝25滿足條件.答案：B.

規律小結 利用基本不等式求最值，主要是運用“和為常數，積有最大值”和“積為常數，和有最小值”，且必須滿足三個前提條件“一正二定三相等”，即“一正”——字母為正數，“二定”——積或和為定值（有時需通過“配湊法”湊出定值），“三相等”——等號能否取到，三個條件缺一不可.

在高考復習時需加強靈活運用基本方法的訓練.高考試題與平時訓練題有聯系，也有區別.要善于將復雜問題轉化為簡單問題，要善于從陌生問題中分離出熟悉的問題，進而找到解決方法.為此要強化基本方法靈活運用的訓練.

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