提高解題正確率,檢驗相助

【摘要】數學學習過程中檢驗是我們驗證解題過程是否正確的重要手段，本文將對一些常用的檢驗方法進行介紹，希望對你的平時解題有所幫助.

【關鍵詞】檢驗方法；數學解題

掌握數學檢驗的各種方法，并能正確地運用到解題過程，會對數學解題起到事半功倍的效果.

一、估值檢驗法

估值檢驗就是將解出的結果與常識上的估值進行比較，從而達到檢驗的目的.倘若我們在解題中，求出橢圓的離心率大于1，雙曲線的離心率小于1，求出自行車的速度超過汽車的速度，我們就會立即發現其中的錯誤，因為這些結果違背了數學的基本知識和日常生活中的一般常識.

二、驗證檢驗法

將解出的結果代入到原題的相關式中進行驗證，從而辨別正誤，這是一種可靠的檢驗方法，特別是對于確定數值的試題.

例1 已知集合A={a2，a+1，-3}，B={a-3，2a-1，a2+1}，若A∩B={-3}，求實數a的值.

錯解 由題意，得a-3=-3或2a-1=-3，得a=0或a=-1.

檢驗 把a=0代入原題，得A∩B={1，-3}與原題A∩B={-3}不相符，所以舍去.

三、簡化檢驗法

一道復雜的或抽象的問題，檢驗解答過程是否正確往往比較困難，這時，我們可在不改變原題性質的前提下，考察其簡單的、具體的情形，從而易于辨析正誤.

例2 有20位志愿者分配到甲、乙、丙、丁四個奧運場館工作，每個場館5人，問有多少種分法？

錯解 甲、乙、丙、丁四個奧運場館依次分配5人，然后互換，共有C520C515C510C55A44種分法.

檢驗 我們不妨將問題簡化，把兩人分給甲、乙兩個奧運場館，有多少種分法？顯而易見，分配的次序對結果沒有影響，只有C12C11種方法，由此可知原解題有錯.正確結果為C520C515C510C55種分法.

四、條件檢驗法

條件檢驗就是從條件入手，全面檢驗已知條件是否得到充分利用，對題設的理解是否準確，隱含條件是否被挖掘，解題的各個環節是否與已知相矛盾.

例3 如果k，k+1，k+2是鈍角三角形的三邊，求k的取值范圍.

錯解 ∵k+2是三角形的最大邊，∴它所對的角θ必為鈍角.

由余弦定理，得

cosθ=k2+(k+1)2-(k+2)22k(k+1)=k2-2k-32k(k+1)=k-32k<0，

解得0

檢驗 上面解法似乎無懈可擊，但卻是錯誤的，導致錯誤的原因在于解題中未能應用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一條件.當k=1時，顯然是構不成三角形的.

正解 設k+2所對的角為θ，則cosθ<0.

∴k>0，k+(k+1)>k+2，k2+(k+1)2-(k+2)22k(k+1)<0，

解得1

五、數形檢驗法

數是形的抽象概括，形是數的直觀表現，數形結合的試題可以用數或形來進行檢驗.

例4 已知雙曲線x2-y2=1，過點P(0，1)的直線l與雙曲線左支交于兩點，求直線l的斜率的取值范圍.

錯解 設直線l的方程為y=kx+1.

聯立y=kx+1，x2-y2=1，消去y，整理，得

(1-k2)x2-2kx-2=0.

由題意，得Δ=(-2k)2-4(1-k2)×(-2)>0，x1+x2=2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0，

解得k∈(-2，-1)∪（1，2）.

檢驗 如圖所示，直線l1過點(0，1)且與漸近線y=x平行，直線l2過點(0，1)且與雙曲線左支相切.可知，符合題意的直線夾在直線l1與l2之間，且不包括直線l1和l2，所以k∈(1，2).原解答錯在沒有限定k>0.

六、邏輯檢驗法

要想得到正確的結果，解題過程必須做到每一步都是等價變換，如果對概念、定義、法則、定理、公式的理解不透徹，就有可能導致錯誤.所以我們可以通過解題的步驟是否符合推理的邏輯性，即可知解題的正確與否.

例5 函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b的值.

錯解 f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知f′(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10，解得a=4，b=-11，或a=-3，b=3.

檢驗 f(x0)為極值的充要條件是f′(x0)=0且導函數f′(x)在x0附近兩側的符號相反，所以后面應該加上：a=4，b=-11時，f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)，在x=1附近兩側的符號相反，故a=4，b=-11，符合題意.

當a=-3，b=3時，f′(x)=3(x-1)2，在x=1附近兩側的符號相同，所以a=-3，b=3應舍去.

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