統計平均數體系新論

【摘要】在諸多統計學教材中，統計平均數與數學平均數不相區別，而統計平均數體系的設置更是一個暫時無人涉足的區域，可以說這是當今統計教材的一個缺陷.而統計學作為一門方法論的工具性學科，如何盡可能地完善其內容體系，應是統計教材改革的方向.

【關鍵詞】數學平均數；統計平均數；統計平均數體系

統計平均數，是統計學中使用最廣泛、最重要的綜合指標之一.它的特殊功能，在于能夠反映社會經濟現象的平均水平和平均變動情況.因而，西方統計學和東方統計學都非常重視統計平均數，并將其作為統計學原理中最基礎的內容.

統計平均數種類繁多，錯綜復雜.從類別看，有算術平均數、調和平均數、幾何平均數、中位數和眾數；從形式上看，有數值平均數和位置平均數；從態勢上看，有靜態平均數和動態平均數；從計算方法是否加權看，有簡單平均數和加權平均數；從反映次數分配的集中趨勢看，有算術平均數、中位數和眾數.

那么，上述眾多平均數，是否存在一個完整的體系呢？如果有，其體系又如何形成呢？這一問題，暫時還無人涉足.但是，筆者認為，研究這一問題，不僅對統計平均數的理論發展和應用具有重要的意義，而且對統計學原理教材的改革也具有巨大的推動作用.

談到平均數體系，自然就會聯想到數學平均數的體系，而數學平均數體系是比較完善的.數學平均數是從數學冪平均出發，對抽象數值的平均.其公式為x=∑ni=1xkin1k，（x為平均數）.k的取值不同，平均數的形式就不同.具體來說，當k=-1時，x=n∑1x（1），為簡單調和平均數；當k=0時，x=nπx（2），為簡單幾何平均數；當k=1時，x=∑ni=1xin（3），為簡單算術平均數，并且它們之間的關系是(1)<(2)<(3).

西方統計學對統計平均數的定義與數學平均數的定義完全一致，即平均數是對抽象數值的平均.其體系的設置實質上與數學平均數體系如出一轍.而數學研究的是抽象的量，統計研究的具體的量，從這一點看，二者是不能混為一談的.

另外，從東方統計學的統計學原理主要教材看，對統計平均數體系的編寫，也存在著缺陷.現以中南大學出版社出版的《統計學原理》（第二版）（歐庚生，陳杏生編）（以下簡稱歐書）、復旦大學出版社出版的《統計學原理》（李潔明，祈新娥著）（以下簡稱李書）為例.

歐書對統計平均數及其體系的設置進行了大膽變革.其意圖是非常明顯的，即試圖融東、西方統計學于一體.但這一設置存在一個基本問題，即統計平均數的概念與統計平均數的體系不相協調.該書統計平均數的概念為：平均指標是反映一定時間、地點、條件下同質總體內各單位某一數量標志一般水平的綜合指標，又稱平均數.例如平均單位成本、糧食平均畝產、平均工資水平等.顯然這是沿用統計平均數的傳統概念，屬于靜態平均數的范疇.但其統計平均數體系卻包括了算術平均數、調和平均數、幾何平均數、中位數和眾數.而幾何平均數屬于動態平均數.這樣統計平均數體系中既包括靜態平均數，又包括動態平均數，造成統計平均數的概念和體系不協調的矛盾.

在李書中，存在的如下問題：

第一，幾何平均數的概念為：“若干個變量值連乘積開其項數次方的算術根.”

第二，該書還說明了算術平均數、幾何平均數、調和平均數三者之間的關系，即算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數.這明顯是數學平均數之間的關系.但從統計平均數看，統計算術平均數與統計調和平均數只是由于已知條件不同，計算平均數時采取不同方法而已，其結果應是統計算術平均數=統計調和平均數，故統計平均數與數學平均數有明顯區別.

綜上所述，不論西方統計學或東方統計學，對統計平均數及其體系的論述，都存在著缺陷.筆者試圖提出統計平均數新體系，與廣大讀者探討.該體系有如下幾個方面的特征：

第一，統計平均數體系的建立，首先必須要強調該指標的經濟意義.即以算術平均數、調和平均數、幾何平均數以及中位數、眾數為框架的新體系.

第二，這一體系，是從統計平均數定義的出發建立的，筆者認為統計平均數的定義應為：統計平均數是反映同質總體在空間方面各總體單位某標志值的一般水平，或同質總體某一指標在時間方面變動的一般水平，因而體系中既包含靜態平均數，也包含動態平均數，統計平均數的內涵和外延完全一致，克服了某些教材中內涵和外延不一致的矛盾.

第三，體系中應體現靜態平均數和動態平均數的區別.動態平均數（又叫序時平均數）是運用算術平均法計算的一類平均數，它跟靜態平均數（又叫一般平均數）相比，一個抽象的是空間上的差異，一個抽象的是時間上的差異，而數學平均數卻不對此進行詳細區分，這是統計平均數與數學平均數的重大區別.

第四，體系中還區分出主要平均數與附屬平均數.在該體系中加權算術平均數為主要平均數；加權調和平均數為附屬平均數，它不過是加權算術平均數的變形而已，其經濟內容與數值，應與加權算術平均數完全一致.而在數學平均數體系中，這兩個平均數是完全不一樣的，所以存在算術平均數>幾何平均數>調和平均數的關系.這是統計平均數與數學平均數的又一重大區別.

第五，體系中還體現出簡單和加權平均數以及位置平均數等平均數內容.統計學原理對統計平均數的編寫，如果按這一體系安排，首先，對統計平均數從寬口徑（包括總體的靜態和動態平均變動）進行定義；再按算術平均數、調和平均數、幾何平均數以及中位數、眾數等重要平均數的順序進行敘述.在敘述簡單平均數和加權平均數時，應打破傳統，先介紹加權平均數，再介紹簡單平均數，因為當權數相等時，加權平均數即為簡單平均數，或者說簡單平均數是加權平均數的一個特例.同時為了深入論述幾何平均數，可先作簡單敘述，然后再在動態數列中作詳細論述.那么，統計平均數及其體系的面貌，則將為之一新，使之具有“科學性”“正確性”“完整性”的特點.

【參考文獻】

［1］歐庚生，陳杏生［R］.長沙：中南大學出版社，2006.

［2］李潔明，祈新娥［R］.上海：復旦大學出版社，2006.

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