例談求解二次函數(shù)最值的問題

【摘要】二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，在閉區(qū)間上必存在最大值、最小值.本文就二次函數(shù)的區(qū)間和對稱軸動(dòng)與靜的變化對其最值的求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，同時(shí)還討論了利用最值確定函數(shù)或定義區(qū)間中的參數(shù)值問題，以及在相關(guān)學(xué)科和實(shí)際生活中的應(yīng)用，等等.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；最值；區(qū)間；對稱軸；應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值問題在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的知識點(diǎn)，它的內(nèi)涵非常豐富，許多重要的數(shù)學(xué)方法如配方法、換元法、分類討論法、基本不等式法、賦值法等都與之有著密切的聯(lián)系.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值、最小值（因?yàn)槎魏瘮?shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的），它們分別在區(qū)間端點(diǎn)或圖像的頂點(diǎn)處取得，當(dāng)f(x)=a(x-h)2+k(a>0)時(shí)，在區(qū)間［m，n］上的最值為：

（1）若h∈［m，n］，則ymin=f(h)=k，ymax=MAX{f(m)， f(n)}.

（2）若h［m，n］，則ymin=MIN{f(m)，f(n)}，ymax=MAX{f(m)，f(n)}.

我們可根據(jù)定義區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解.對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是一個(gè)較為廣泛的知識點(diǎn).在中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)二次函數(shù)最常見的問題就是求其函數(shù)的最值，尤其是在指定區(qū)間上的最值.下面就f(x)=ax2+bx+c(a>0)的最值求解作一個(gè)簡單介紹.

二次函數(shù)最值的解法：

當(dāng)x∈R時(shí)，對于f(x)=ax2+bx+c(a>0)可知它有最小值為4ac-b24a.但是，當(dāng)要求f(x)=ax2+bx+c(a>0)在某一指定區(qū)間［m，n］上最值時(shí)應(yīng)該怎么辦呢？在這里主要是應(yīng)用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來討論.我們都知道f(x)=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是x=-b2a，所以y=f(x)在區(qū)間-∞，-b2a上為減函數(shù)，在-b2a，＋∞上為增函數(shù).因此要求［m，n］上最值，只要討論以下幾種情況：

（1）當(dāng)［m，n］∈-∞，-b2a時(shí)，即-b2a＞n，此時(shí)y=f(x)在［m，n］上為減函數(shù)，最大值為f(m)，最小值為f(n).

（2）當(dāng)［m，n］∈-b2a，+∞時(shí)，即-b2a

（3）當(dāng)-b2a∈［m，n］時(shí)，即m≤-b2a≤n，此時(shí)f-b2a為最小值，取f(m)，f(n)中的較大者為最大值.（還可以說以m，n離-b2a的距離最大者，由圖像的對稱性可得）

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c可作類似的分析.

已知二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和某定義域區(qū)間，求其最值.這種問題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問題，影響二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值的主要取決于區(qū)間和對稱軸的位置.下面就區(qū)間和對稱軸動(dòng)與定的變化進(jìn)行分類，探索求最值的方法.

一、定區(qū)間與定軸

二次函數(shù)y=f(x)的區(qū)間和對稱軸都確定時(shí)，則可將函數(shù)式配方，再根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求其最值.

圖 1

例1 已知f(x)=2x2-8x+3，x∈［-1，3］求f(x)最值.

分析 對f(x)配方，得

f(x)=2(x-2)2-5，x∈［-1，3］.

其圖像開口向上，對稱軸x=2∈［-1，3］.

如圖1所示，觀察圖像可知，

f(x)max=f(-1)=13，f(x)min=f(2)=-5.

二、定區(qū)間與動(dòng)軸

二次函數(shù)y=f(x)的區(qū)間確定而對稱軸變化時(shí)，可根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間三種情況進(jìn)行討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解，例題略.

三、動(dòng)區(qū)間與定軸

二次函數(shù)y=f(x)的對稱軸確定而區(qū)間在變化時(shí)，由區(qū)間和對稱軸的關(guān)系可知，只需對動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論即可.

1.區(qū)間長度不確定，一端點(diǎn)確定

根據(jù)題目中二次函數(shù)確定的圖像，從而知道其對稱軸的位置，再根據(jù)所給出區(qū)間可確定其最大值或最小值，再列式求值.

例2 已知f(x)=2x2-8x+5在閉區(qū)間［t，4］上有最大值8，求t的值.

解 f(x)=2(x-2)2-3，開口向上，對稱軸為直線x=2，且f(4)=5，由分析得

當(dāng)0≤t≤4時(shí)，f(x)最大值為f(4)，即為5，不合題意；

當(dāng)t<0時(shí)，t距離對稱軸x=2較遠(yuǎn).

故f(x)的最大值為f(t)=2t2-2t+5，令2t2-2t+5=8，且t<0，得t=1-72.

綜上，t=1-72.

2.區(qū)間長度確定，兩端點(diǎn)不確定

在坐標(biāo)軸上根據(jù)已給的二次函數(shù)圖像，分析對稱軸與動(dòng)區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系，后確定二次函數(shù)的最大值和最小值情況，再列式求解，例題略.

四、動(dòng)區(qū)間與動(dòng)軸

二次函數(shù)y=f(x)的區(qū)間和對稱軸均在變化時(shí)，可根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性進(jìn)行處理，例題略.

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，它是一個(gè)非常重要的工具，在自然科學(xué)和實(shí)踐生活中起著很重要的作用.而二次函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)簡單而又普通的知識點(diǎn)，其最值問題就讓我們感受到了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.其次不僅僅是二次函數(shù)才有這樣的應(yīng)用價(jià)值，還有很多這樣的知識點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中起著重要的作用.數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)而又重要的學(xué)科，科技離不開數(shù)學(xué)，生活離不開數(shù)學(xué)，這將引發(fā)我們對數(shù)學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行更深入的思考.

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