淺談?lì)A(yù)設(shè)式數(shù)學(xué)教學(xué)

【摘要】數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).本文探討預(yù)設(shè)式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過(guò)預(yù)設(shè)學(xué)生感興趣富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，可以吸引學(xué)生“眼球”，調(diào)動(dòng)學(xué)生課堂的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】預(yù)設(shè)式教學(xué)；新課標(biāo)；創(chuàng)新意識(shí)

一、對(duì)預(yù)設(shè)課堂的理解

預(yù)設(shè)(presupposition)發(fā)軔于哲學(xué)和邏輯學(xué).德國(guó)哲學(xué)家Frege在1892年發(fā)表的《論涵義與指稱》論文里最早提出了“預(yù)設(shè)”的概念.他認(rèn)為，“如果人們陳述某些東西，當(dāng)然總要有一個(gè)預(yù)設(shè)”.

所謂“預(yù)設(shè)”，簡(jiǎn)而言之就是“預(yù)先設(shè)定、計(jì)劃”.預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)的基本要求.它是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的興趣、學(xué)習(xí)需要和現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)，以各種形式有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).即教師必須在課前對(duì)教學(xué)活動(dòng)有一個(gè)清晰、理性的思考和安排.數(shù)學(xué)教學(xué)中的課堂預(yù)設(shè)，就是要明確以下五個(gè)問(wèn)題：這節(jié)課教什么？要求學(xué)生達(dá)到怎樣的目標(biāo)？教師提供什么材料？教師怎么教？學(xué)生怎么學(xué)？在每一個(gè)環(huán)節(jié)里，如何提問(wèn)？預(yù)計(jì)學(xué)生會(huì)怎樣回答？

傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)式教學(xué)程序化、模式化，使師生的生命力得不到充分發(fā)揮.因此眾多學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方式進(jìn)行了研究、探討.本課題就結(jié)合具體的課堂教學(xué)實(shí)例，對(duì)如何給學(xué)生創(chuàng)設(shè)“預(yù)設(shè)空間”這一問(wèn)題進(jìn)行探討.

二、通過(guò)預(yù)設(shè)空間，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂有效進(jìn)行

心理學(xué)原理告訴我們：（1）“滿堂灌”的教法極易使學(xué)生產(chǎn)生生理和心理的疲勞，容易引起學(xué)生的分心現(xiàn)象，而“預(yù)設(shè)空間”的課，學(xué)生可以從中得到積極的休息，由聽(tīng)轉(zhuǎn)為思.（2）從記憶原理看，“滿堂灌”的教法不易使學(xué)生記住，而“預(yù)設(shè)空間”的課，很容易使學(xué)生記憶，這是因?yàn)楹笳呤艿角皵z抑制和后攝抑制較少之故.（3）從創(chuàng)造和想象原理來(lái)說(shuō)，“預(yù)設(shè)空間”的課，容易使學(xué)生蕩起想象的浪花，激起好奇的漣漪.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，巧妙地運(yùn)用“預(yù)設(shè)空間”藝術(shù)，設(shè)置問(wèn)題解決的環(huán)境，讓學(xué)生通過(guò)自主以及合作研究的途徑加以解決，促使學(xué)生的主觀能動(dòng)性得到充分發(fā)揮，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

傳統(tǒng)課堂教學(xué)把每節(jié)課的內(nèi)容任務(wù)和進(jìn)程都具體地甚至按時(shí)間順序分解在教案里.也就是像計(jì)算機(jī)輸出規(guī)定程序一樣，完全是教案的展開(kāi)過(guò)程.這種教學(xué)使課堂變得機(jī)械、沉悶、程式化，缺乏活力.隨著新課程改革的深入，教學(xué)設(shè)計(jì)從著重于教師的“教”到學(xué)生的“學(xué)”，更多地為學(xué)生的學(xué)而預(yù)設(shè)，要求的是“以學(xué)生為本”“以學(xué)為教”的預(yù)設(shè).

為此，在新課標(biāo)下教師必須重新認(rèn)識(shí)課堂預(yù)設(shè).從以學(xué)生為主體出發(fā)，課前從多維度進(jìn)行清晰、理性的思考和安排，使預(yù)設(shè)具有針對(duì)性、開(kāi)放性和靈活性.從而使教師的教有效地促進(jìn)學(xué)生的學(xué).

1.巧妙預(yù)設(shè)空間，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性就是思維的深度，是發(fā)現(xiàn)和辨別事物本質(zhì)的能力.思維深刻性主要表現(xiàn)在理解能力強(qiáng)、能抓住概念、定理的核心及知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵及使用條件和范圍.因此，疏通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是培養(yǎng)思維深刻性的主要手段.在概念教學(xué)中，教師一般都是開(kāi)門見(jiàn)山，直接給出定義，然后給出若干注意事項(xiàng).雖然講得很細(xì)、很深，但由于講得過(guò)多，很少留有時(shí)間給學(xué)生思考、討論，抑制了學(xué)生思考的積極性.有時(shí)教師滔滔不絕地講，學(xué)生卻無(wú)動(dòng)于衷，效果反而不佳.若能巧妙利用“預(yù)設(shè)空間”藝術(shù)，給學(xué)生留有思考余地，讓他們主動(dòng)去研究、探索，掌握概念印象更深刻.

例如，在橢圓定義教學(xué)中，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示，“到兩定點(diǎn)間距離之和大于兩定點(diǎn)間距離、等于兩定點(diǎn)間距離、小于兩定點(diǎn)間距離”時(shí)，其軌跡分別如何？然后留出幾分鐘時(shí)間由學(xué)生思考、總結(jié)，從而得出橢圓的定義，同時(shí)也加深了對(duì)概念內(nèi)涵的深刻理解.

又如，在學(xué)習(xí)“相似三角形”一節(jié)中，教師出示兩幅形狀相同、大小不等的中國(guó)地圖，讓學(xué)生觀察并提出問(wèn)題：“兩幅中國(guó)地圖有什么關(guān)系？形狀又有什么特點(diǎn)？”在兩幅大小不等的地圖上分別找出北京、武漢、昆明三座城市的位置，并連接三座城市間的線段，得到兩個(gè)三角形.接著提問(wèn)：“兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？形狀有何特點(diǎn)？”待學(xué)生猜想、討論一會(huì)，引入課題——相似三角形.從而巧妙地借助兩幅大小不等的地圖上三座城市間的連線段建立相似三角形的模型，提出問(wèn)題讓學(xué)生猜想、分析、討論，使得知識(shí)銜接自然，并為下一步探索相似三角形的概念埋下伏筆.這種讓學(xué)生通過(guò)類比的研究方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)啟發(fā)得到新的定義，從而避免了教師一講到底的“滿堂灌”.通過(guò)適時(shí)啟發(fā)、點(diǎn)撥、總結(jié)，既發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考的能力.

2.巧妙預(yù)設(shè)空間，培養(yǎng)思維的直覺(jué)性

“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.”預(yù)見(jiàn)意識(shí)對(duì)探索成功率的提高是大有裨益的.解題過(guò)程中我們對(duì)于解題策略、思路、方向和手段都應(yīng)該作出正確的判斷和抉擇，否則將誤入歧途.因此在例題教學(xué)中，先不急于分析解題思路，而恰當(dāng)?shù)亓粲锌臻g，讓學(xué)生仔細(xì)審題，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，對(duì)比權(quán)衡，如未知數(shù)、自變量、參數(shù)的確定，輔助元素的設(shè)置，坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)的選取，分類討論的時(shí)機(jī)掌握，及討論標(biāo)準(zhǔn)層次的確定等，它們對(duì)于解題成敗、難易、繁簡(jiǎn)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，在此基礎(chǔ)上作出正確的估計(jì)和判斷.

例1 已知兩點(diǎn)M1，54，N-4，-54，給出下列曲線方程：(1)4x+2y-1=0；(2)x2+y2=3；(3)x22+y2=1；(4)x22-y2=1.在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的曲線方程是哪幾個(gè)？

通過(guò)學(xué)生思考，憑直覺(jué)可以預(yù)見(jiàn)到解決本題的關(guān)鍵：將已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為是否存在線段的垂直平分線與所給曲線有交點(diǎn).

例2 已知|x-2|+|y+4|=0，求x，y的值.

通過(guò)學(xué)生思考，憑直覺(jué)可以預(yù)見(jiàn)到解決本題的關(guān)鍵：求兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以知道只有這兩個(gè)非負(fù)數(shù)都是0的情況下才可以使它們的和為0，所以x=2，y=-4.

3.巧妙預(yù)設(shè)空間，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考，善于提出問(wèn)題，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤.因此在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)亓粲锌瞻祝寣W(xué)生有充分的時(shí)間去不斷總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，進(jìn)行回顧和反思，自覺(jué)調(diào)控思維過(guò)程，自我評(píng)價(jià)解題思路和方法，尋求最佳答案.從而在挫折中優(yōu)化解題思路，在辨析中增強(qiáng)免疫力，從而提高思維的批判性.

例3 已知雙曲線方程3x2-y2=3，求出以下列點(diǎn)分別為中點(diǎn)的弦所在直線方程：(1)A(2，1)；(2)B(1，1).

師生共同分析：本題關(guān)鍵求出弦所在直線的斜率.如何求斜率？讓學(xué)生思考，多數(shù)學(xué)生略作思考，有如下兩種方法：

（1）設(shè)直線斜率為k，寫出直線方程代入雙曲線方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求得斜率.

（2）點(diǎn)差法：設(shè)直線與雙曲線交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有3x21-y21=3，3x22-y22=3，兩式相減，得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.

所以k=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=6，進(jìn)而得到直線MN方程6x-y-11=0.

同理，可求得過(guò)點(diǎn)B的直線方程3x-y-2=0.

此時(shí)提醒學(xué)生檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)以B為中點(diǎn)的直線與雙曲線并無(wú)交點(diǎn)，即以B為中點(diǎn)的弦不存在，引導(dǎo)學(xué)生反思：

（1）原因何在？

（2）此直線雖然不是以B為中點(diǎn)的弦所在直線，但是否具有某種性質(zhì)？

（3）分析點(diǎn)A，B的位置，判斷：當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)存在以B為中點(diǎn)的弦？

例4 △ABC中，AB=8，AC=6，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一點(diǎn)E，使△ADE與原三角形相似，則AE的長(zhǎng)是多少?

由于同學(xué)們對(duì)利用平行線構(gòu)造相似三角形的方法比較熟悉，因此很容易想到下面的解法：

圖 1

如圖1，過(guò)D作DE∥BC，交AB于E，則△ADE∽△ACB，所以ADAC=AEAB，即26=AE8，解得AE=83.

此時(shí)提醒學(xué)生，由于題目中沒(méi)有提到具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這里的“原三角形”就是讓自己找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，實(shí)際上符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)（E和F），引導(dǎo)學(xué)生反思.

以上兩道例題，教師不急于解決這些問(wèn)題，而讓學(xué)生去探索，既激發(fā)了他們的求知欲望，又提高了辨別能力，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4.巧妙預(yù)設(shè)空間，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性表現(xiàn)為“為什么是這樣”“還會(huì)怎樣”的心理活動(dòng)過(guò)程.對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為不滿足于知其然，執(zhí)意追求知其所以然.而創(chuàng)造性思維是最高層次的思維活動(dòng)，是在自由想象的基礎(chǔ)上對(duì)頭腦中已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新的組合的結(jié)果.引導(dǎo)、誘發(fā)、鼓勵(lì)學(xué)生在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)驅(qū)動(dòng)下不斷實(shí)現(xiàn)自我突破，敢于“標(biāo)新立異”，敢于“離經(jīng)叛道”.

例5 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

學(xué)生證完該題后，與學(xué)生一起對(duì)其進(jìn)行變式研究，引導(dǎo)學(xué)生變換出一系列命題：

（1）變更命題的條件或結(jié)論

變式1 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)作弦P1P2，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，證明：x1x2=p24.

變式2 若拋物線y2=2px的弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)適合y1y2=-p2（或x1x2=p24），證弦必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

（2）將命題的特殊條件變?yōu)橐话銞l件

變式3 過(guò)定點(diǎn)A(a，0)(a>0)作直線交拋物線y2=2px于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，證明：x1x2=a2，y1y2=-2pa.

變式4 若過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)P1，P2分別作對(duì)稱軸的垂線，垂足分別為Q1，Q2，證明：|OF|為|OQ1|和|OQ2|的等比中項(xiàng)(其中F為拋物線的焦點(diǎn)).

(3)同時(shí)變更命題的條件和結(jié)論

變式5 拋物線的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為C，D，證明：以CD為直徑的圓與直線AB相切.

變式6 自拋物線的頂點(diǎn)引互相垂直的兩條直線交拋物線于P，Q，證明：直線PQ交對(duì)稱軸于定點(diǎn).

這樣從一個(gè)題引出一串題，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正收到由表及里、舉一反

三、觸類旁通的功效.這種開(kāi)放性變式，讓學(xué)生直接參與到數(shù)學(xué)習(xí)題形成的過(guò)程之中，讓不同程度的學(xué)生都能以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，引起同學(xué)們濃厚的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性.

5.巧妙預(yù)設(shè)空間，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性表現(xiàn)為能夠根據(jù)問(wèn)題條件，及時(shí)改變觀察和思維角度，靈活地理解題意，通過(guò)類比、聯(lián)想等思維活動(dòng)，揭示本質(zhì)聯(lián)系，巧妙地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，迅速地找到解題途徑，確定解題方案，從而簡(jiǎn)捷解題.

圖 2

例6 如圖2，在△ABC的AB和AC邊上分別向外作正方形ABDE和ACNM，連接CE，MB.求證：CE⊥MB且CE=MB.

分析 因?yàn)榇祟}目具備了等邊和等角的條件，我們可以通過(guò)全等三角形的證明來(lái)完成解題，但是如果我們換一個(gè)角度，用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)證明，便能更靈活迅速地解出答案.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文