基于對(duì)稱\\反對(duì)稱矩陣的幾何不等式的思考

一、對(duì)稱矩陣與超曲面的曲率

所謂對(duì)稱矩陣，即滿足轉(zhuǎn)置矩陣與自身相等(AT=A)的矩陣.關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣，我們有下列結(jié)論：

定理1 假設(shè)A=(aij)是實(shí)對(duì)稱陣，跡trA=nH.則

|A|2+nHa11-∑ni=1a21i≥n2(5-n)4H2.（1）

1.不等式的幾何解釋

在超曲面理論中，不等式（1）有很重要的幾何解釋：設(shè)N是n+1維流形，M是N中的超曲面，平均曲率為H.那么M中任意點(diǎn)p處的單位向量η（記法向?yàn)棣停嬖贛的局部正交基{e1，…，en}，使得e1=η.記A=(hij)為第二基本形式，其中hij=〈Aei，ej〉.結(jié)合高斯方程和trA=nH，有

nHh11-∑ni=1h21i=Ric(η，η)-Ric(η，η)+K(ν，η)，

其中Ric(η，η)，Ric(η，η)和K(ν，η)分別是M的Ricci曲率、N的Ricci曲率和N的截面曲率.于是，我們有如下幾何意義的不等式：

|A|2+Ric(η，η)-Ric(η，η)+K(ν，η)≥n2(5-n)4H2.

這表明超曲面的第二基本形式、超曲面和外圍空間的Ricci曲率及平均曲率之間有著內(nèi)在的關(guān)系.特別地，如果N=Rn且H=0時(shí)，上述不等式表明Rn中的極小超曲面的Ricci曲率有下界-|A|2.上述不等式結(jié)合調(diào)和函數(shù)理論還可以研究流形中穩(wěn)定常平均曲率超曲面的剛性結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫再|(zhì)，如終端（end）的有限性.

2.不等式的證明

記B=A-HI，其中I為單位矩陣.顯然∑ni=1bii=0.于是

|B|2=∑ni，j=1b2ij≥b211+∑ni=2b2ii+2∑ni=2b21i

≥b211+1n-1(∑ni=2bii)2+2∑ni=2b21i

≥nn-1(b211+∑ni=2b21i).

所以，結(jié)合bii=aii-H，i=1，…，n和bij=aij，i≠j，i，j=1，…，n，有

nHa11-∑ni=1a21i=(n-1)H2+(n-2)Hb11-(b211+∑ni=2b21i)

≥(n-1)H2+(n-2)|H||B| n-1n-n-1n|B|2，

上式兩邊加上|A|2后，將右邊配方即得定理1的結(jié)論.

二、反對(duì)稱矩陣與Bochner公式

關(guān)于反對(duì)稱矩陣，即滿足轉(zhuǎn)置矩陣與自身的負(fù)矩陣相等(AT=-A)的矩陣.我們先看關(guān)于它在相似標(biāo)準(zhǔn)型理論中的兩個(gè)結(jié)論：

1.反對(duì)稱矩陣相似型及其推廣

引理2 假設(shè)A=(aij)是m階實(shí)反對(duì)稱矩陣，則A相似于分塊對(duì)角形矩陣diag(B1，…，Bn，0，…，0)，其中Bi=0bi-bi0，1≤i≤n，2n≤m.

引理2可以用歸納法證明.實(shí)際上，我們有更一般地結(jié)論：

引理3 設(shè)V是m維向量空間，g是V上的內(nèi)積.如果ω：V×V→R是反對(duì)稱雙線性函數(shù)，那么存在正交基{e1，…，e2n，…，em}（它的對(duì)偶基是{e1，…，e2n，…，em}）使得ω=∑ni=1bie2i-1∧e2i，這里2n≤m，“∧”是外積.

證明 通過(guò)內(nèi)積g，定義向量空間V到自身的映射A.

g(Au，v)=ω(u，v)，記U=kerA.則V=UW，其中W={u∈V：g(u，v)=0，u∈U}.第一步：選W中單位向量e1使得|Ae1|=supX∈W，|X|=1|AX|.于是AAe1‖e1，記f1=Ae1|Ae1|.于是，g(e1，f1)=0.令W1=span{e1，f1}，W⊥1={v∈W：g(v，w)=0，w∈W1}.類似于第一步，在W⊥1中選擇e2，記f2=Ae2|Ae2|，W2=span{e2，f2}等等.由于向量空間的維數(shù)有限，經(jīng)過(guò)有限步后一定會(huì)終止.于是V=UW1…Wn，其中Wi由{ei，fi}生成且ω(ei，fi)=|Aei|≠0.

3.Bochner公式

引理3在微分幾何中有很多的應(yīng)用，我們舉一例加以說(shuō)明.在黎曼幾何中有Bochner公式：設(shè)(M，g)是m維黎曼流形，如果ω=∑IaIωI∈∧p(M)（這里∧p(M)指流形M上所有的p階反對(duì)稱張量的集合），那么

Δ|ω|2=2〈Δω，ω〉+2|ω|2+2〈E(ω)，ω〉，（2）

其中E(ω)=Rkβiβjαiαai1…kβ…ipeip∧…∧ejα∧…∧ei1，Rijkl是曲率張量，Δ是由度量g決定的Laplace算子，是聯(lián)絡(luò)（相當(dāng)于導(dǎo)數(shù)）.

如果p=1，那么〈E(ω)，ω〉=Ric(ω，ω)，其中Ric是Ricci張量.

如果p=2，那么〈E(ω)，ω〉不涉及ω的微分且與基底的選擇無(wú)關(guān).因此，可以在一點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.我們可以選取一組基底使得ω=∑ni=1bie2i-1∧e2i，代入到Bochner公式中計(jì)算，這大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量（實(shí)際上，ω從m(m-1)2項(xiàng)減少到n項(xiàng)）.并且很容易得到：如果流形M具有非負(fù)isotropic曲率時(shí)，那么〈E(ω)，ω〉是非負(fù)的.于是Bochner公式可以給出很好的幾何與拓?fù)浣Y(jié)果，如特殊幾何結(jié)構(gòu)的存在性和同調(diào)群的維數(shù)等.

如果p≥3，到目前為止，還沒(méi)有類似于上述的簡(jiǎn)化方法去認(rèn)識(shí)Bochner公式中的項(xiàng)〈E(ω)，ω〉.

姜伯駒院士認(rèn)為：學(xué)生“好”的幾何直觀需要養(yǎng)成和磨煉，是一個(gè)潛移默化的過(guò)程，需要老師的循循善誘.在幾何課程教學(xué)和研究中，通過(guò)代數(shù)方法獲得解析式，并探尋抽象空間中的直觀解釋，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，是優(yōu)化問(wèn)題解決過(guò)程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文