關于復合函數求導的討論

【摘要】復合函數的求導一直是全面掌握求導知識的一個難點和重點，分析清楚復合函數的定義和對復合函數的求解方法就顯得至關重要.本文通過對復合函數定義的闡述和復合函數求導的討論，進一步的解釋了復合函數的求導問題.

【關鍵詞】復合函數；求導；分析

復合函數作為表達函數的一種重要形式，因為復合函數也由幾個初等函數構成，所以對復合函數的求導比初等函數求導更為復雜.一般地，初等函數往往可以直接利用導數的四則運算法則，而復合函數的求導不但需要理解由哪些初等函數構成，而且求導時也要理清各初等函數之間的關系，這個過程往往需要若干步驟才能準確的求解.按照復合函數的求導法則，在計算復合函數時，最關鍵的是要找出一切中間變量及分解的初等函數，求導時要經過對中間變量的求導計算，這也構成了復合函數求導的難點.

對復合函數的定義的準確理解是掌握復合函數求導的根基，在此基礎上，進一步的分析復合函數的求導方法及其推廣應用，便于全面的理解復合函數的求導方法和培養嚴密的邏輯思維能力.

一、理解復合函數

遵循分析問題的規律，即分析問題首先是要認清問題的本質.在討論復合函數求導問題時，首先應該理解復合函數的定義，便于認清復合函數的性質，以及對復合函數求導的關鍵點.

復合函數，從其字面意思理解可以表示為由多個函數通過復合的形式組成的新函數，即由多個簡單的初等函數組合構成的復合型函數，那么要理解復合函數，就是要理解構成復合函數的初等函數.其中，初等函數是指冪函數、指數函數（y=xa，a為實數）、對數函數(y=ax，a>0且a≠1)、三角函數和反三角函數這五種函數.簡單的初等函數是指對基本的初等函數和函數經過有限次的四則運算構成的函數，比如y=8+8sinx，y=ex-x+1等均為初等函數.復合函數則通過中間變量把有限個初等函數組合在一起的新函數.比如，有如下形式的復合函數：y=sinU，U=V，V=1-2x，則y=sin1-2x.

這里的U，V依次稱為一個中間變量、第二個中間變量，通過這兩個中間變量的組合就構成了復合函數.

以上過程為正向分解復合函數的過程，若給定某個復合函數，要認識由哪幾個簡單初等函數構成，則需要逆向的分解復合函數，比如給定以下復合函數形式，y=ln(4+7x3)和y=5(cos6x)2，若分解成簡單的初等函數，就可分別表示為y=lnu，u=4+7x3和y=5u2，u=cosv，v=6x.即一般方法是：從外向里分析，最外層的主體函數結構是以基本函數為主要形式，各層的中間變量結構也都是基本函數關系，這樣一層一層分析向里推進，最里層應是關于自變量的基本函數或關于自變量的基本函數經過有限次四則運算而得到的函數.理解復合函數的逆向分解對復合函數的求導至關重要，并且是對復合函數求導的關鍵所在.

二、復合函數的求導

由于復合函數是簡單的初等函數復合而成，所以，對其求導關鍵在于分析清楚函數的復合關系，選好中間變量.在求導過程中，逐步對復合函數的中間變量求導，比如形如y=ecosx的復合函數的導數，就包括以下過程：

第一，分清中間變量.可以把y=ecosx看成是由以下過程構成的復合函數，y=eu和u=cosx；

第二，逐步求導.即首先需對整體求導，即y′=(ecosx)′=(eu)′#8226;u′=(eu)′#8226;(cosx)′.接著對中間變量求導，y′=euu=cosx#8226;(-sinx)=-ecosx#8226;sinx.

以上兩步是求解復合函數導數的一般步驟，但是若復合函數由較多的簡單初等函數構成，那么這個過程就比較復雜，就需要一個一般的過程實現.一般地，把復合函數的求導法則寫成dydx=dydu#8226;dudx，并將其成為鏈式法則，即復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘中間變量對自變量的導數.根據復合函數中間變量的形式，可以把對復合函數的求導分為中間變量均為一元函數的情形，中間變量均為多元函數的情形，中間變量既有一元函數，又有多元函數的情形.

三、復合函數求導的應用

復合函數求導在物理學中得到廣泛的應用，特別力學問題，在對過程建立數學關系后，就需要對力學過程求解，而這個過程往往是一種復合函數的形式.而且，復合函數求導的能力掌握得如何，是判定對求導知識掌握程度的重要標志.因為復合函數的求導法則給出了一個相當一般的求導方法，許多求導公式都可以通過該法則逐步的推廣得到，可以說其他的求導公式都可以看成是它的特例.并且，表達函數的三種形式（顯示表達、隱士表達和參數表達），雖然各有不同的應用場合，但是對它們的求導都可以利用復合函數的求導法則實現，而且運算的難易和繁簡程度也大相徑庭，比如引用較多的隱函數求導、復合函數的全微分等.

所以，在學習時，通過各種題型的反復訓練，然后歸納總結復合函數的求導法則，最后形成嚴密的關于復合函數求導的邏輯思維關系，就可以全面的掌握復合函數的求導法則，并可根據實際情況選擇使用不同求導的方式.這對進一步的掌握全微分、偏微分等知識至關重要.

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