如何使得類比推理的結(jié)論更加合理

在高中數(shù)學(xué)選修2-2創(chuàng)新課時作業(yè)（功到自然成）第37頁關(guān)于類比推理的一道題：

已知等差數(shù)列{an}中的加、減、乘、除運算與等比數(shù)列{bn}中的乘、除、乘方、開方對應(yīng).

已知等差數(shù)列{an}有下列性質(zhì)：

（1）定義：an+1-an=d(d為常數(shù)，n∈N*)；

（2）通項：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d(m，n∈N*，m

（3）前n項和：Sn=n(a1+an)2；

（4）等差中項：an+1=an+an+22；

（5）若m+n=p+q=2t，則am+an=ap+aq=2at(m，n，p，q，t∈N*).

通過類比，寫出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的性質(zhì).

本題的參考答案為：

（1）定義：bn+1bn=q（q為常數(shù)，n∈N*）；

（2）通項：bn=b1qn-1，bn=bmqn-m（m，n∈N*，m

（3）前n項積：Tn=(b1bn)n；

（4）等比中項：bn+1=bnbn+2；

（5）若m+n=p+q=2t，則bmbn=bpbq=b2t（m，n，p，q，t∈N*）.

由等比數(shù)列的知識知：

在等比數(shù)列中任意相鄰三項也是等比數(shù)列，故bn+1是bn與bn+2的等比中項，且b2n+1=bnbn+2，因而（4）是錯的.

又如等比數(shù)列1，-2，4，-8，16，-32，…的前3項積T3=-8，而由（3），得T3=(b1b3)3=64=8，顯然（3）也是錯的.

研究其錯因，本題采用的是形式類比，（3），（4）均是由等差數(shù)列中的除法運算聯(lián)想到等比數(shù)列中的開方運算，但是開方運算是存在局限性的.我們?nèi)绻麚Q個角度從等差數(shù)列前n項和Sn=n(a1+an)2的推導(dǎo)方法—倒序相加求和，進行類比聯(lián)想，等差—求和—倒序相加，那么等比呢？很容易聯(lián)想到：等比—求積—倒序相乘.

下面來驗證：

在等比數(shù)列中首尾等距離兩項的積相等，即b1bn=b2bn-1=b3bn-2=…

Tn=b1b2b3…bn-1bn.①

又 Tn=bnbn-1bn-2…b2b1，②

①×②，得T2n=(b1bn)n.顯然當(dāng)Tn<0時，（4）是不成立的.

通過對本題研究我們發(fā)現(xiàn)類比推理時分析問題的角度和高度不同會得到不同的推理結(jié)果，結(jié)果是否正確仍然需要檢驗.

“多考一點想的，少考一點算的”，以能力立意的數(shù)學(xué)高考試題不斷推出一些思路開闊、情景新穎脫俗的創(chuàng)新題型，將數(shù)學(xué)知識、方法和原理融于一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價值，類比思想恰能體現(xiàn)這一點.從近幾年的高考試卷來看，類比思想已逐漸滲透于高考試題之中，成為高考的一大亮點.作為考題我們需要由類比推理得到正確的結(jié)論，雖然失敗是成功之母，但考試時的錯誤結(jié)論可能會使得某個孩子的成功之路變得漫長甚至于遙遙無期.因而在教學(xué)中要教會學(xué)生正確的進行類比，下面就此談兩點體會：

1.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要善于利用類比，而且要有意識地對學(xué)生進行類比訓(xùn)練，促使學(xué)生在生活和社會實踐中對遇到的問題能進行類比推理，找到解決問題的方法.類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象，類比的依據(jù)是兩者間的相似性，這就需要具備寬厚的知識.

例1 已知圓x2+y2=r2(r>0)的面積為S=πr2，由類比推理，得橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為.

思路 從特征量角度分析，橢圓中心——圓的圓心即圓的中心，圓的半徑r——橢圓的長軸a、短軸b均可認為曲線上的點到中心的距離，所以a，b均可類比為r，故面積為πab.

類比猜想要求有一定的依據(jù)，但又不要求有充分的根據(jù)，這就等于放寬了條件，它對事物的認識可以忽略細部，可以不受嚴格的形式邏輯思維的限制，這就增加了整體思考的機會，因而學(xué)生思維的進程得以加快，迅速找到最佳解題思路.本題就可以猜想橢圓上每一點到中心的距離為半徑，特別是當(dāng)短軸無限逼近長軸時，橢圓越逼近圓，此時的長軸a、短軸b就可以認為是圓的半徑，可以用定積分進行計算.

2.教師在教學(xué)中，要有計劃地引導(dǎo)學(xué)生進行猜想活動，使其對問題有充分的認識，能運用已有知識和經(jīng)驗，提出最可能的假設(shè)或最好的解決方案，并在可能的條件下，從理論上或?qū)嵺`上予以驗證，最終得出正確的結(jié)論.

例2 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上任意一點，F(xiàn)2在∠F1PF2的內(nèi)角平分線上的射影為M，則M的軌跡是以原點為圓心，半徑為a的圓，可以類比到橢圓中，寫出你類似的結(jié)論.

分析 本題有一半的學(xué)生的結(jié)論中依然寫的是內(nèi)角平分線，引導(dǎo)學(xué)生對比它們的定義：雙曲線上的點到兩個焦點的距離的差的絕對值為常數(shù)2a，應(yīng)該對應(yīng)橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數(shù)2a，所以最可能的應(yīng)該是內(nèi)角對應(yīng)著外角.所以本題的答案最合理的是：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1與F2，P是橢圓上任意一點，F(xiàn)2在∠F1PF2的外角平分線上的射影為M，則M的軌跡是以原點為圓心，半徑為a的圓.當(dāng)然結(jié)論是否正確一定要進行檢驗證明.

有些學(xué)生認為類比聯(lián)想就是天馬行空的猜想，如果這樣認為，那就變成了空想，這樣的結(jié)論是無用的，所做的工作也是徒勞的.發(fā)明創(chuàng)造所追求的是新穎未知的事物，應(yīng)該是人們暫時還是陌生和不了解的.為此，需要借助于現(xiàn)有的知識與經(jīng)驗或其他已經(jīng)熟悉了的事物做橋梁，獲得借鑒啟迪.怎樣才能使得我們的答案是準(zhǔn)確無誤的呢？就是讓學(xué)生掌握科學(xué)研究的一般方法，其模式是“觀察、比較——聯(lián)想、類推——作出猜想——檢驗證明”.在教學(xué)中不要滿足于對對象相似性的模糊認識，要堅持把它們的相似性用語言確切地表述出來，只有這樣，才能把“類比”和“比喻”區(qū)分開來.最后一定要強調(diào)對猜想的結(jié)果進行檢驗，只有經(jīng)得起考驗的才是真理.

總之一句話，進行類比推理時，不要從表面上去類比，一定要看到問題的實質(zhì)，通過證明來說明，這樣問題才能得到圓滿的解決.

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